Analysis Beispiele

$\ln (\ln (9 x))$

Schritt 1

Finde die Asymptoten.

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Schritt 1.1

Setze das Argument des Logarithmus gleich null.

$\ln (9 x) = 0$

Schritt 1.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Um nach $x$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (9 x)} = e^{0}$

Schritt 1.2.2

Schreibe $\ln (9 x) = 0$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{0} = 9 x$

Schritt 1.2.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.3.1

Schreibe die Gleichung als $9 x = e^{0}$ um.

$9 x = e^{0}$

Schritt 1.2.3.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$9 x = 1$

Schritt 1.2.3.3

Teile jeden Ausdruck in $9 x = 1$ durch $9$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $9 x = 1$ durch $9$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{1}{9}$

Schritt 1.2.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 1.2.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9 x}{9} = \frac{1}{9}$

Schritt 1.2.3.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{9}$

Schritt 1.3

Die vertikale Asymptote tritt bei $x = \frac{1}{9}$ auf.

Vertikale Asymptote: $x = \frac{1}{9}$

Schritt 2

Bestimme den Punkt bei $x = 2$ .

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = \ln (\ln (9 (2)))$

Schritt 2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.1

Mutltipliziere $9$ mit $2$ .

$f (2) = \ln (\ln (18))$

Schritt 2.2.2

Die endgültige Lösung ist $\ln (\ln (18))$ .

$\ln (\ln (18))$

Schritt 2.3

Konvertiere $\ln (\ln (18))$ nach Dezimal.

$y = 1.06138512$

Schritt 3

Bestimme den Punkt bei $x = 3$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f (3) = \ln (\ln (9 (3)))$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Mutltipliziere $9$ mit $3$ .

$f (3) = \ln (\ln (27))$

Schritt 3.2.2

Die endgültige Lösung ist $\ln (\ln (27))$ .

$\ln (\ln (27))$

Schritt 3.3

Konvertiere $\ln (\ln (27))$ nach Dezimal.

$y = 1.19266011$

Schritt 4

Bestimme den Punkt bei $x = 4$ .

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4$ .

$f (4) = \ln (\ln (9 (4)))$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $9$ mit $4$ .

$f (4) = \ln (\ln (36))$

Schritt 4.2.2

Die endgültige Lösung ist $\ln (\ln (36))$ .

$\ln (\ln (36))$

Schritt 4.3

Konvertiere $\ln (\ln (36))$ nach Dezimal.

$y = 1.27634526$

Schritt 5

Die logarithmische Funktion kann graphisch dargestellt werden mithilfe der vertikalen Asymptote bei $x = \frac{1}{9}$ und den Punkten $(2, 1.06138512), (3, 1.19266011), (4, 1.27634526)$ .

Vertikale Asymptote: $x = \frac{1}{9}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & 1.061 \\ 3 & 1.193 \\ 4 & 1.276 \end{array}$

Schritt 6