Analysis Beispiele

$\ln (\sqrt{x y})$

Schritt 1

Um nach $x$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (\sqrt{x y})} = e^{0}$

Schritt 2

Schreibe $\ln (\sqrt{x y}) = 0$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{0} = \sqrt{x y}$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\sqrt{x y} = e^{0}$ um.

$\sqrt{x y} = e^{0}$

Schritt 3.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{x y}}^{2} = {(e^{0})}^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x y}$ als ${(x y)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(x y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(e^{0})}^{2}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache ${({(x y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(e^{0})}^{2}$

Schritt 3.3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(x y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(e^{0})}^{2}$

Schritt 3.3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(x y)}^{1} = {(e^{0})}^{2}$

Schritt 3.3.2.1.2

Vereinfache.

$x y = {(e^{0})}^{2}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Vereinfache ${(e^{0})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.3.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{0})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.3.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x y = e^{0 \cdot 2}$

Schritt 3.3.3.1.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $2$ .

$x y = e^{0}$

Schritt 3.3.3.1.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$x y = 1$

Schritt 3.4

Teile jeden Ausdruck in $x y = 1$ durch $y$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Teile jeden Ausdruck in $x y = 1$ durch $y$ .

$\frac{x y}{y} = \frac{1}{y}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y}{y} = \frac{1}{y}$

Schritt 3.4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{y}$

Schritt 4

Ermittle den $y$ -Wert bei $x = - 1$ .

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{1}{- 1}$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Dividiere $1$ durch $- 1$ .

$f (- 1) = - 1$

Schritt 4.2.2

Die endgültige Lösung ist $- 1$ .

$- 1$

Schritt 4.3

Der $y$ -Wert bei $x = - 1$ ist $- 1$ .

$y = - 1$

Schritt 5

Ermittle den $y$ -Wert bei $x = - 2$ .

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f (- 2) = \frac{1}{- 2}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- 2) = - \frac{1}{2}$

Schritt 5.2.2

Die endgültige Lösung ist $- \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2}$

Schritt 5.3

Der $y$ -Wert bei $x = - 2$ ist $- \frac{1}{2}$ .

$y = - \frac{1}{2}$

Schritt 6

Ermittle den $y$ -Wert bei $x = - 3$ .

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 3$ .

$f (- 3) = \frac{1}{- 3}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- 3) = - \frac{1}{3}$

Schritt 6.2.2

Die endgültige Lösung ist $- \frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{3}$

Schritt 6.3

Der $y$ -Wert bei $x = - 3$ ist $- \frac{1}{3}$ .

$y = - \frac{1}{3}$

Schritt 7

Ermittle den $y$ -Wert bei $x = 1$ .

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = \frac{1}{1}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Dividiere $1$ durch $1$ .

$f (1) = 1$

Schritt 7.2.2

Die endgültige Lösung ist $1$ .

$1$

Schritt 7.3

Der $y$ -Wert bei $x = 1$ ist $1$ .

$y = 1$

Schritt 8

Ermittle den $y$ -Wert bei $x = 2$ .

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = \frac{1}{2}$

Schritt 8.2

Die endgültige Lösung ist $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Schritt 8.3

Der $y$ -Wert bei $x = 2$ ist $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{1}{2}$

Schritt 9

Ermittle den $y$ -Wert bei $x = 3$ .

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Schritt 9.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f (3) = \frac{1}{3}$

Schritt 9.2

Die endgültige Lösung ist $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3}$

Schritt 9.3

Der $y$ -Wert bei $x = 3$ ist $\frac{1}{3}$ .

$y = \frac{1}{3}$

Schritt 10

Erfasse die graphisch darzustellenden Punkte in einer Liste.

$(- 1, - 1), (- 2, - 0.5), (- 3, - 0.\overline{3}), (1, 1), (2, 0.5), (3, 0.\overline{3})$

Schritt 11

Wähle einige Punkte aus, um den Graphen zu zeichnen.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 3 & - 0.333 \\ - 2 & - 0.5 \\ - 1 & - 1 \\ 1 & 1 \\ 2 & 0.5 \\ 3 & 0.333 \end{array}$

Schritt 12