Analysis Beispiele

$\frac{\ln (x)}{12 x}$

Schritt 1

Finde die Asymptoten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Ermittle, wo der Ausdruck $\frac{\ln (x)}{12 x}$ nicht definiert ist.

$x \leq 0$

Schritt 1.2

Da $\frac{\ln (x)}{12 x}$ $\to$ $\infty$ , wenn $x$ $\to$ $0$ von links und $\frac{\ln (x)}{12 x}$ $\to$ $- \infty$ , wenn $x$ $\to$ $0$ von rechts, dann ist $x = 0$ eine vertikale Asymptote.

$x = 0$

Schritt 1.3

Den Logarithmus außer Acht lassend, betrachte die rationale Funktion $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , wobei $n$ der Grad des Zählers und $m$ der Grad des Nenners ist.

1. Wenn $n < m$ , dann ist die x-Achse, $y = 0$ , die horizontale Asymptote.

2. Wenn $n = m$ , dann ist die horizontale Asymptote die Gerade $y = \frac{a}{b}$ .

3. Wenn $n > m$ , dann gibt es keine horizontale Asymptote (es gibt eine schiefe Asymptote).

Schritt 1.4

Ermittle $n$ und $m$ .

$n = 0$

$m = 1$

Schritt 1.5

Da $n < m$ , ist die x-Achse, $y = 0$ , die horizontale Asymptote.

$y = 0$

Schritt 1.6

Es sind keine schiefen Asymptoten für logarithmische und trigonometrische Funktionen vorhanden.

Keine schiefen Asymptoten

Schritt 1.7

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Vertikale Asymptoten: $x = 0$

Horizontale Asymptoten: $y = 0$

Vertikale Asymptoten: $x = 0$

Horizontale Asymptoten: $y = 0$

Schritt 2

Bestimme den Punkt bei $x = 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = \frac{\ln (1)}{12 (1)}$

Schritt 2.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$f (1) = \frac{0}{12 (1)}$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $12$ mit $1$ .

$f (1) = \frac{0}{12}$

Schritt 2.2.3

Dividiere $0$ durch $12$ .

$f (1) = 0$

Schritt 2.2.4

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 2.3

Konvertiere $0$ nach Dezimal.

$y = 0$

Schritt 3

Bestimme den Punkt bei $x = 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = \frac{\ln (2)}{12 (2)}$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Mutltipliziere $12$ mit $2$ .

$f (2) = \frac{\ln (2)}{24}$

Schritt 3.2.2

Schreibe $\frac{\ln (2)}{24}$ als $\frac{1}{24} \ln (2)$ um.

$f (2) = \frac{1}{24} \cdot \ln (2)$

Schritt 3.2.3

Vereinfache $\frac{1}{24} \ln (2)$ , indem du $\frac{1}{24}$ in den Logarithmus ziehst.

$f (2) = \ln (2^{\frac{1}{24}})$

Schritt 3.2.4

Die endgültige Lösung ist $\ln (2^{\frac{1}{24}})$ .

$\ln (2^{\frac{1}{24}})$

Schritt 3.3

Konvertiere $\ln (2^{\frac{1}{24}})$ nach Dezimal.

$y = 0.02888113$

Schritt 4

Bestimme den Punkt bei $x = 3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f (3) = \frac{\ln (3)}{12 (3)}$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $12$ mit $3$ .

$f (3) = \frac{\ln (3)}{36}$

Schritt 4.2.2

Schreibe $\frac{\ln (3)}{36}$ als $\frac{1}{36} \ln (3)$ um.

$f (3) = \frac{1}{36} \cdot \ln (3)$

Schritt 4.2.3

Vereinfache $\frac{1}{36} \ln (3)$ , indem du $\frac{1}{36}$ in den Logarithmus ziehst.

$f (3) = \ln (3^{\frac{1}{36}})$

Schritt 4.2.4

Die endgültige Lösung ist $\ln (3^{\frac{1}{36}})$ .

$\ln (3^{\frac{1}{36}})$

Schritt 4.3

Konvertiere $\ln (3^{\frac{1}{36}})$ nach Dezimal.

$y = 0.030517$

Schritt 5

Die logarithmische Funktion kann graphisch dargestellt werden mithilfe der vertikalen Asymptote bei $x = 0$ und den Punkten $(1, 0), (2, 0.02888113), (3, 0.030517)$ .

Vertikale Asymptote: $x = 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 0 \\ 2 & 0.029 \\ 3 & 0.031 \end{array}$

Schritt 6