Analysis Beispiele

$\frac{\ln (7 x + 5)}{e^{7 x + 5}}$

Schritt 1

Finde die Asymptoten.

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Schritt 1.1

Ermittle, wo der Ausdruck $\frac{\ln (7 x + 5)}{e^{7 x + 5}}$ nicht definiert ist.

$x \leq - \frac{5}{7}$

Schritt 1.2

Da $\frac{\ln (7 x + 5)}{e^{7 x + 5}}$ $\to$ $\infty$ , wenn $x$ $\to$ $- \frac{5}{7}$ von links und $\frac{\ln (7 x + 5)}{e^{7 x + 5}}$ $\to$ $- \infty$ , wenn $x$ $\to$ $- \frac{5}{7}$ von rechts, dann ist $x = - \frac{5}{7}$ eine vertikale Asymptote.

$x = - \frac{5}{7}$

Schritt 1.3

Berechne $lim_{x \to \infty} \frac{\ln (7 x + 5)}{e^{7 x + 5}}$ , um die horizontale Asymptote zu finden.

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Schritt 1.3.1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.3.1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.3.1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to \infty} \ln (7 x + 5)}{lim_{x \to \infty} e^{7 x + 5}}$

Schritt 1.3.1.1.2

Da der Logarithmus gegen unendlich geht, geht der Wert gegen $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{7 x + 5}}$

Schritt 1.3.1.1.3

Da der Exponent $7 x + 5$ gegen $\infty$ geht, nähert sich die Größe $e^{7 x + 5}$ $\infty$ an.

$\frac{\infty}{\infty}$

Schritt 1.3.1.1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{\infty}{\infty}$

Schritt 1.3.1.2

Da $\frac{\infty}{\infty}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (7 x + 5)}{e^{7 x + 5}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (7 x + 5)]}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

Schritt 1.3.1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (7 x + 5)]}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

Schritt 1.3.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 7 x + 5$ .

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Schritt 1.3.1.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $7 x + 5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [7 x + 5]}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

Schritt 1.3.1.3.2.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [7 x + 5]}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

Schritt 1.3.1.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $7 x + 5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{7 x + 5} \frac{d}{d x} [7 x + 5]}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

Schritt 1.3.1.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $7 x + 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{7 x + 5} (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

Schritt 1.3.1.3.4

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7 x$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{7 x + 5} (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

Schritt 1.3.1.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{7 x + 5} (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

Schritt 1.3.1.3.6

Mutltipliziere $7$ mit $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{7 x + 5} (7 + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

Schritt 1.3.1.3.7

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{7 x + 5} (7 + 0)}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

Schritt 1.3.1.3.8

Addiere $7$ und $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{7 x + 5} \cdot 7}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

Schritt 1.3.1.3.9

Kombiniere $\frac{1}{7 x + 5}$ und $7$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{7 x + 5}}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

Schritt 1.3.1.3.10

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 7 x + 5$ .

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Schritt 1.3.1.3.10.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $7 x + 5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{7 x + 5}}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [7 x + 5]}$

Schritt 1.3.1.3.10.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{7 x + 5}}{e^{u} \frac{d}{d x} [7 x + 5]}$

Schritt 1.3.1.3.10.3

Ersetze alle $u$ durch $7 x + 5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{7 x + 5}}{e^{7 x + 5} \frac{d}{d x} [7 x + 5]}$

Schritt 1.3.1.3.11

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $7 x + 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{7 x + 5}}{e^{7 x + 5} (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [5])}$

Schritt 1.3.1.3.12

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7 x$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{7 x + 5}}{e^{7 x + 5} (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])}$

Schritt 1.3.1.3.13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{7 x + 5}}{e^{7 x + 5} (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])}$

Schritt 1.3.1.3.14

Mutltipliziere $7$ mit $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{7 x + 5}}{e^{7 x + 5} (7 + \frac{d}{d x} [5])}$

Schritt 1.3.1.3.15

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{7 x + 5}}{e^{7 x + 5} (7 + 0)}$

Schritt 1.3.1.3.16

Addiere $7$ und $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{7 x + 5}}{e^{7 x + 5} \cdot 7}$

Schritt 1.3.1.3.17

Bringe $7$ auf die linke Seite von $e^{7 x + 5}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{7 x + 5}}{7 e^{7 x + 5}}$

Schritt 1.3.1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to \infty} \frac{7}{7 x + 5} \cdot \frac{1}{7 e^{7 x + 5}}$

Schritt 1.3.1.5

Mutltipliziere $\frac{7}{7 x + 5}$ mit $\frac{1}{7 e^{7 x + 5}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{7}{(7 x + 5) (7 e^{7 x + 5})}$

Schritt 1.3.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 1.3.1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{7}{(7 x + 5) (7 e^{7 x + 5})}$

Schritt 1.3.1.6.2

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{(7 x + 5) (e^{7 x + 5})}$

Schritt 1.3.2

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{(7 x + 5) (e^{7 x + 5})}$ $0$ .

$0$

Schritt 1.4

Gib die horizontalen Asymptoten an:

$y = 0$

Schritt 1.5

Es sind keine schiefen Asymptoten für logarithmische und trigonometrische Funktionen vorhanden.

Keine schiefen Asymptoten

Schritt 1.6

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Vertikale Asymptoten: $x = - \frac{5}{7}$

Horizontale Asymptoten: $y = 0$

Vertikale Asymptoten: $x = - \frac{5}{7}$

Horizontale Asymptoten: $y = 0$

Schritt 2

Bestimme den Punkt bei $x = 1$ .

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = \frac{\ln (7 (1) + 5)}{e^{7 (1) + 5}}$

Schritt 2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.1.1

Mutltipliziere $7$ mit $1$ .

$f (1) = \frac{\ln (7 + 5)}{e^{7 (1) + 5}}$

Schritt 2.2.1.2

Addiere $7$ und $5$ .

$f (1) = \frac{\ln (12)}{e^{7 (1) + 5}}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.2.2.1

Mutltipliziere $7$ mit $1$ .

$f (1) = \frac{\ln (12)}{e^{7 + 5}}$

Schritt 2.2.2.2

Addiere $7$ und $5$ .

$f (1) = \frac{\ln (12)}{e^{12}}$

Schritt 2.2.3

Die endgültige Lösung ist $\frac{\ln (12)}{e^{12}}$ .

$\frac{\ln (12)}{e^{12}}$

Schritt 2.3

Konvertiere $\frac{\ln (12)}{e^{12}}$ nach Dezimal.

$y = 1.52677941 \times 10^{- 5}$

Schritt 3

Bestimme den Punkt bei $x = 2$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = \frac{\ln (7 (2) + 5)}{e^{7 (2) + 5}}$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.1.1

Mutltipliziere $7$ mit $2$ .

$f (2) = \frac{\ln (14 + 5)}{e^{7 (2) + 5}}$

Schritt 3.2.1.2

Addiere $14$ und $5$ .

$f (2) = \frac{\ln (19)}{e^{7 (2) + 5}}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.2.2.1

Mutltipliziere $7$ mit $2$ .

$f (2) = \frac{\ln (19)}{e^{14 + 5}}$

Schritt 3.2.2.2

Addiere $14$ und $5$ .

$f (2) = \frac{\ln (19)}{e^{19}}$

Schritt 3.2.3

Die endgültige Lösung ist $\frac{\ln (19)}{e^{19}}$ .

$\frac{\ln (19)}{e^{19}}$

Schritt 3.3

Konvertiere $\frac{\ln (19)}{e^{19}}$ nach Dezimal.

$y = 1.64970922 \times 10^{- 8}$

Schritt 4

Bestimme den Punkt bei $x = 3$ .

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f (3) = \frac{\ln (7 (3) + 5)}{e^{7 (3) + 5}}$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.1.1

Mutltipliziere $7$ mit $3$ .

$f (3) = \frac{\ln (21 + 5)}{e^{7 (3) + 5}}$

Schritt 4.2.1.2

Addiere $21$ und $5$ .

$f (3) = \frac{\ln (26)}{e^{7 (3) + 5}}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.2.1

Mutltipliziere $7$ mit $3$ .

$f (3) = \frac{\ln (26)}{e^{21 + 5}}$

Schritt 4.2.2.2

Addiere $21$ und $5$ .

$f (3) = \frac{\ln (26)}{e^{26}}$

Schritt 4.2.3

Die endgültige Lösung ist $\frac{\ln (26)}{e^{26}}$ .

$\frac{\ln (26)}{e^{26}}$

Schritt 4.3

Konvertiere $\frac{\ln (26)}{e^{26}}$ nach Dezimal.

$y = 1.66459052 \times 10^{- 11}$

Schritt 5

Die logarithmische Funktion kann graphisch dargestellt werden mithilfe der vertikalen Asymptote bei $x = - \frac{5}{7}$ und den Punkten $(1, 1.52677941), (2, 1.64970922), (3, 1.66459052)$ .

Vertikale Asymptote: $x = - \frac{5}{7}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 1.527 \\ 2 & 1.65 \\ 3 & 1.665 \end{array}$

Schritt 6