Analysis Beispiele

$\frac{4000}{\ln (x + 5)}$

Schritt 1

Finde die Asymptoten.

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Schritt 1.1

Ermittle, wo der Ausdruck $\frac{4000}{\ln (x + 5)}$ nicht definiert ist.

$x \leq - 5, x = - 4$

Schritt 1.2

Da $\frac{4000}{\ln (x + 5)}$ $\to$ $- \infty$ , wenn $x$ $\to$ $- 4$ von links und $\frac{4000}{\ln (x + 5)}$ $\to$ $\infty$ , wenn $x$ $\to$ $- 4$ von rechts, dann ist $x = - 4$ eine vertikale Asymptote.

$x = - 4$

Schritt 1.3

Berechne $lim_{x \to \infty} \frac{4000}{\ln (x + 5)}$ , um die horizontale Asymptote zu finden.

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Schritt 1.3.1

Ziehe den Term $4000$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$4000 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\ln (x + 5)}$

Schritt 1.3.2

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{\ln (x + 5)}$ $0$ .

$4000 \cdot 0$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $4000$ mit $0$ .

$0$

Schritt 1.4

Gib die horizontalen Asymptoten an:

$y = 0$

Schritt 1.5

Es sind keine schiefen Asymptoten für logarithmische und trigonometrische Funktionen vorhanden.

Keine schiefen Asymptoten

Schritt 1.6

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Vertikale Asymptoten: $x = - 4$

Horizontale Asymptoten: $y = 0$

Vertikale Asymptoten: $x = - 4$

Horizontale Asymptoten: $y = 0$

Schritt 2

Bestimme den Punkt bei $x = - 3$ .

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 3$ .

$f (- 3) = \frac{4000}{\ln ((- 3) + 5)}$

Schritt 2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.1

Addiere $- 3$ und $5$ .

$f (- 3) = \frac{4000}{\ln (2)}$

Schritt 2.2.2

Die endgültige Lösung ist $\frac{4000}{\ln (2)}$ .

$\frac{4000}{\ln (2)}$

Schritt 2.3

Konvertiere $\frac{4000}{\ln (2)}$ nach Dezimal.

$y = 5770.78016355$

Schritt 3

Bestimme den Punkt bei $x = - 2$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f (- 2) = \frac{4000}{\ln ((- 2) + 5)}$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Addiere $- 2$ und $5$ .

$f (- 2) = \frac{4000}{\ln (3)}$

Schritt 3.2.2

Die endgültige Lösung ist $\frac{4000}{\ln (3)}$ .

$\frac{4000}{\ln (3)}$

Schritt 3.3

Konvertiere $\frac{4000}{\ln (3)}$ nach Dezimal.

$y = 3640.9569065$

Schritt 4

Bestimme den Punkt bei $x = - 1$ .

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{4000}{\ln ((- 1) + 5)}$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Addiere $- 1$ und $5$ .

$f (- 1) = \frac{4000}{\ln (4)}$

Schritt 4.2.2

Schreibe $\ln (4)$ als $\ln (2^{2})$ um.

$f (- 1) = \frac{4000}{\ln (2^{2})}$

Schritt 4.2.3

Zerlege $\ln (2^{2})$ durch Herausziehen von $2$ aus dem Logarithmus.

$f (- 1) = \frac{4000}{2 \ln (2)}$

Schritt 4.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4000$ und $2$ .

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Schritt 4.2.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4000$ heraus.

$f (- 1) = \frac{2 \cdot 2000}{2 \ln (2)}$

Schritt 4.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \ln (2)$ heraus.

$f (- 1) = \frac{2 \cdot 2000}{2 (\ln (2))}$

Schritt 4.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- 1) = \frac{2 \cdot 2000}{2 \ln (2)}$

Schritt 4.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- 1) = \frac{2000}{\ln (2)}$

Schritt 4.2.5

Die endgültige Lösung ist $\frac{2000}{\ln (2)}$ .

$\frac{2000}{\ln (2)}$

Schritt 4.3

Konvertiere $\frac{2000}{\ln (2)}$ nach Dezimal.

$y = 2885.39008177$

Schritt 5

Die logarithmische Funktion kann graphisch dargestellt werden mithilfe der vertikalen Asymptote bei $x = - 4$ und den Punkten $(- 3, 5770.78016355), (- 2, 3640.9569065), (- 1, 2885.39008177)$ .

Vertikale Asymptote: $x = - 4$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 3 & 5770.78 \\ - 2 & 3640.957 \\ - 1 & 2885.39 \end{array}$

Schritt 6