Analysis Beispiele

$\frac{1 - 2 \ln (x)}{x^{3}}$

Schritt 1

Finde die Asymptoten.

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Schritt 1.1

Ermittle, wo der Ausdruck $\frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$ nicht definiert ist.

$x = 0$

Schritt 1.2

Berechne $lim_{x \to \infty} \frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$ , um die horizontale Asymptote zu finden.

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Schritt 1.2.1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.2.1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.2.1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to \infty} 1 - \ln (x^{2})}{lim_{x \to \infty} x^{3}}$

Schritt 1.2.1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.2.1.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.2.1.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \ln (x^{2})}{lim_{x \to \infty} x^{3}}$

Schritt 1.2.1.1.2.1.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{1 - lim_{x \to \infty} \ln (x^{2})}{lim_{x \to \infty} x^{3}}$

Schritt 1.2.1.1.2.2

Da der Logarithmus gegen unendlich geht, geht der Wert gegen $\infty$ .

$\frac{1 - \infty}{lim_{x \to \infty} x^{3}}$

Schritt 1.2.1.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.2.1.1.2.3.1

Eine Konstante ungleich Null multipliziert mit Unendlich ergibt Unendlich.

$\frac{1 + - \infty}{lim_{x \to \infty} x^{3}}$

Schritt 1.2.1.1.2.3.2

Unendlich plus oder minus eine Zahl ist Unendlich.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} x^{3}}$

Schritt 1.2.1.1.3

Der Grenzwert im Unendlichen eines Polynoms, dessen Leitkoeffizient positiv ist, ist unendlich.

$\frac{- \infty}{\infty}$

Schritt 1.2.1.1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{- \infty}{\infty}$

Schritt 1.2.1.2

Da $\frac{- \infty}{\infty}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \ln (x^{2})]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Schritt 1.2.1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.2.1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \ln (x^{2})]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Schritt 1.2.1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - \ln (x^{2})$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{2})]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{2})]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Schritt 1.2.1.3.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{2})]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Schritt 1.2.1.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- \ln (x^{2})]$ .

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Schritt 1.2.1.3.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \ln (x^{2})$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Schritt 1.2.1.3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 1.2.1.3.4.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Schritt 1.2.1.3.4.2.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Schritt 1.2.1.3.4.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - (\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Schritt 1.2.1.3.4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - (\frac{1}{x^{2}} (2 x))}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Schritt 1.2.1.3.4.4

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - (\frac{2}{x^{2}} x)}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Schritt 1.2.1.3.4.5

Kombiniere $\frac{2}{x^{2}}$ und $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - \frac{2 x}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Schritt 1.2.1.3.4.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{2}$ .

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Schritt 1.2.1.3.4.6.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - \frac{x \cdot 2}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Schritt 1.2.1.3.4.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.1.3.4.6.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - \frac{x \cdot 2}{x \cdot x}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Schritt 1.2.1.3.4.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - \frac{x \cdot 2}{x \cdot x}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Schritt 1.2.1.3.4.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - \frac{2}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Schritt 1.2.1.3.5

Subtrahiere $\frac{2}{x}$ von $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Schritt 1.2.1.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2}{x}}{3 x^{2}}$

Schritt 1.2.1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to \infty} - \frac{2}{x} \cdot \frac{1}{3 x^{2}}$

Schritt 1.2.1.5

Vereinige Faktoren.

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Schritt 1.2.1.5.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3 x^{2}}$ mit $\frac{2}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} - \frac{2}{3 x^{2} x}$

Schritt 1.2.1.5.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$lim_{x \to \infty} - \frac{2}{3 (x^{1} x^{2})}$

Schritt 1.2.1.5.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$lim_{x \to \infty} - \frac{2}{3 x^{1 + 2}}$

Schritt 1.2.1.5.4

Addiere $1$ und $2$ .

$lim_{x \to \infty} - \frac{2}{3 x^{3}}$

Schritt 1.2.2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.2.2.1

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$- lim_{x \to \infty} \frac{2}{3 x^{3}}$

Schritt 1.2.2.2

Ziehe den Term $\frac{2}{3}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$- \frac{2}{3} lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}$

Schritt 1.2.3

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{3}}$ $0$ .

$- \frac{2}{3} \cdot 0$

Schritt 1.2.4

Multipliziere $- \frac{2}{3} \cdot 0$ .

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Schritt 1.2.4.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$0 (\frac{2}{3})$

Schritt 1.2.4.2

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{2}{3}$ .

$0$

Schritt 1.3

Gib die horizontalen Asymptoten an:

$y = 0$

Schritt 1.4

Es sind keine schiefen Asymptoten für logarithmische und trigonometrische Funktionen vorhanden.

Keine schiefen Asymptoten

Schritt 1.5

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Vertikale Asymptoten: $x = 0$

Horizontale Asymptoten: $y = 0$

Vertikale Asymptoten: $x = 0$

Horizontale Asymptoten: $y = 0$

Schritt 2

Bestimme den Punkt bei $x = 1$ .

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = \frac{1 - 2 \ln (1)}{{(1)}^{3}}$

Schritt 2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.1.1

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$f (1) = \frac{1 - 2 \cdot 0}{1^{3}}$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$f (1) = \frac{1 + 0}{1^{3}}$

Schritt 2.2.1.3

Addiere $1$ und $0$ .

$f (1) = \frac{1}{1^{3}}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = \frac{1}{1}$

Schritt 2.2.2.2

Dividiere $1$ durch $1$ .

$f (1) = 1$

Schritt 2.2.3

Die endgültige Lösung ist $1$ .

$1$

Schritt 2.3

Konvertiere $1$ nach Dezimal.

$y = 1$

Schritt 3

Bestimme den Punkt bei $x = 2$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = \frac{1 - 2 \ln (2)}{{(2)}^{3}}$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $- 2 \ln (2)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$f (2) = \frac{1 - \ln (2^{2})}{2^{3}}$

Schritt 3.2.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (2) = \frac{1 - \ln (4)}{2^{3}}$

Schritt 3.2.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f (2) = \frac{1 - \ln (4)}{8}$

Schritt 3.2.3

Die endgültige Lösung ist $\frac{1 - \ln (4)}{8}$ .

$\frac{1 - \ln (4)}{8}$

Schritt 3.3

Konvertiere $\frac{1 - \ln (4)}{8}$ nach Dezimal.

$y = - 0.04828679$

Schritt 4

Bestimme den Punkt bei $x = 3$ .

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f (3) = \frac{1 - 2 \ln (3)}{{(3)}^{3}}$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.1.1

Vereinfache $- 2 \ln (3)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$f (3) = \frac{1 - \ln (3^{2})}{3^{3}}$

Schritt 4.2.1.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f (3) = \frac{1 - \ln (9)}{3^{3}}$

Schritt 4.2.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$f (3) = \frac{1 - \ln (9)}{27}$

Schritt 4.2.3

Die endgültige Lösung ist $\frac{1 - \ln (9)}{27}$ .

$\frac{1 - \ln (9)}{27}$

Schritt 4.3

Konvertiere $\frac{1 - \ln (9)}{27}$ nach Dezimal.

$y = - 0.04434165$

Schritt 5

Die logarithmische Funktion kann graphisch dargestellt werden mithilfe der vertikalen Asymptote bei $x = 0$ und den Punkten $(1, 1), (2, - 0.04828679), (3, - 0.04434165)$ .

Vertikale Asymptote: $x = 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 1 \\ 2 & - 0.048 \\ 3 & - 0.044 \end{array}$

Schritt 6