Analysis Beispiele

$\frac{1}{3} \cdot ({(4 + \frac{1}{x})}^{3} (\ln (x)))$

Schritt 1

Finde die Asymptoten.

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Schritt 1.1

Ermittle, wo der Ausdruck $\frac{\ln (x) {(4 x + 1)}^{3}}{3 x^{3}}$ nicht definiert ist.

$x \leq 0$

Schritt 1.2

Da $\frac{\ln (x) {(4 x + 1)}^{3}}{3 x^{3}}$ $\to$ $\infty$ , wenn $x$ $\to$ $0$ von links und $\frac{\ln (x) {(4 x + 1)}^{3}}{3 x^{3}}$ $\to$ $- \infty$ , wenn $x$ $\to$ $0$ von rechts, dann ist $x = 0$ eine vertikale Asymptote.

$x = 0$

Schritt 1.3

Den Logarithmus außer Acht lassend, betrachte die rationale Funktion $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , wobei $n$ der Grad des Zählers und $m$ der Grad des Nenners ist.

1. Wenn $n < m$ , dann ist die x-Achse, $y = 0$ , die horizontale Asymptote.

2. Wenn $n = m$ , dann ist die horizontale Asymptote die Gerade $y = \frac{a}{b}$ .

3. Wenn $n > m$ , dann gibt es keine horizontale Asymptote (es gibt eine schiefe Asymptote).

Schritt 1.4

Ermittle $n$ und $m$ .

$n = 3$

$m = 3$

Schritt 1.5

Da $n = m$ , ist die horizontale Asymptote die Gerade $y = \frac{a}{b}$ mit $a = 64$ und $b = 3$ .

$y = \frac{64}{3}$

Schritt 1.6

Es sind keine schiefen Asymptoten für logarithmische und trigonometrische Funktionen vorhanden.

Keine schiefen Asymptoten

Schritt 1.7

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Vertikale Asymptoten: $x = 0$

Horizontale Asymptoten: $y = \frac{64}{3}$

Vertikale Asymptoten: $x = 0$

Horizontale Asymptoten: $y = \frac{64}{3}$

Schritt 2

Bestimme den Punkt bei $x = 1$ .

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = \frac{1}{3} \cdot ({(4 + \frac{1}{1})}^{3} (\ln (1)))$

Schritt 2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.1

Dividiere $1$ durch $1$ .

$f (1) = \frac{1}{3} \cdot ({(4 + 1)}^{3} \ln (1))$

Schritt 2.2.2

Addiere $4$ und $1$ .

$f (1) = \frac{1}{3} \cdot (5^{3} \ln (1))$

Schritt 2.2.3

Potenziere $5$ mit $3$ .

$f (1) = \frac{1}{3} \cdot (125 \ln (1))$

Schritt 2.2.4

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$f (1) = \frac{1}{3} \cdot (125 \cdot 0)$

Schritt 2.2.5

Mutltipliziere $125$ mit $0$ .

$f (1) = \frac{1}{3} \cdot 0$

Schritt 2.2.6

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $0$ .

$f (1) = 0$

Schritt 2.2.7

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 2.3

Konvertiere $0$ nach Dezimal.

$y = 0$

Schritt 3

Bestimme den Punkt bei $x = 2$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot ({(4 + \frac{1}{2})}^{3} (\ln (2)))$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Um $4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot ({(4 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2})}^{3} \ln (2))$

Schritt 3.2.2

Kombiniere $4$ und $\frac{2}{2}$ .

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot ({(\frac{4 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2})}^{3} \ln (2))$

Schritt 3.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot ({(\frac{4 \cdot 2 + 1}{2})}^{3} \ln (2))$

Schritt 3.2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.4.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot ({(\frac{8 + 1}{2})}^{3} \ln (2))$

Schritt 3.2.4.2

Addiere $8$ und $1$ .

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot ({(\frac{9}{2})}^{3} \ln (2))$

Schritt 3.2.5

Wende die Produktregel auf $\frac{9}{2}$ an.

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot (\frac{9^{3}}{2^{3}} \cdot \ln (2))$

Schritt 3.2.6

Potenziere $9$ mit $3$ .

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot (\frac{729}{2^{3}} \cdot \ln (2))$

Schritt 3.2.7

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot (\frac{729}{8} \cdot \ln (2))$

Schritt 3.2.8

Vereinfache $\frac{729}{8} \ln (2)$ , indem du $\frac{729}{8}$ in den Logarithmus ziehst.

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot \ln (2^{\frac{729}{8}})$

Schritt 3.2.9

Vereinfache $\frac{1}{3} \ln (2^{\frac{729}{8}})$ , indem du $\frac{1}{3}$ in den Logarithmus ziehst.

$f (2) = \ln ({(2^{\frac{729}{8}})}^{\frac{1}{3}})$

Schritt 3.2.10

Multipliziere die Exponenten in ${(2^{\frac{729}{8}})}^{\frac{1}{3}}$ .

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Schritt 3.2.10.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (2) = \ln (2^{\frac{729}{8} \cdot \frac{1}{3}})$

Schritt 3.2.10.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.10.2.1

Faktorisiere $3$ aus $729$ heraus.

$f (2) = \ln (2^{\frac{3 (243)}{8} \cdot \frac{1}{3}})$

Schritt 3.2.10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (2) = \ln (2^{\frac{3 \cdot 243}{8} \cdot \frac{1}{3}})$

Schritt 3.2.10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (2) = \ln (2^{\frac{243}{8}})$

Schritt 3.2.11

Die endgültige Lösung ist $\ln (2^{\frac{243}{8}})$ .

$\ln (2^{\frac{243}{8}})$

Schritt 3.3

Konvertiere $\ln (2^{\frac{243}{8}})$ nach Dezimal.

$y = 21.0543456$

Schritt 4

Bestimme den Punkt bei $x = 3$ .

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot ({(4 + \frac{1}{3})}^{3} (\ln (3)))$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Um $4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot ({(4 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3})}^{3} \ln (3))$

Schritt 4.2.2

Kombiniere $4$ und $\frac{3}{3}$ .

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot ({(\frac{4 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3})}^{3} \ln (3))$

Schritt 4.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot ({(\frac{4 \cdot 3 + 1}{3})}^{3} \ln (3))$

Schritt 4.2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.4.1

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot ({(\frac{12 + 1}{3})}^{3} \ln (3))$

Schritt 4.2.4.2

Addiere $12$ und $1$ .

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot ({(\frac{13}{3})}^{3} \ln (3))$

Schritt 4.2.5

Wende die Produktregel auf $\frac{13}{3}$ an.

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot (\frac{13^{3}}{3^{3}} \cdot \ln (3))$

Schritt 4.2.6

Potenziere $13$ mit $3$ .

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot (\frac{2197}{3^{3}} \cdot \ln (3))$

Schritt 4.2.7

Potenziere $3$ mit $3$ .

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot (\frac{2197}{27} \cdot \ln (3))$

Schritt 4.2.8

Vereinfache $\frac{2197}{27} \ln (3)$ , indem du $\frac{2197}{27}$ in den Logarithmus ziehst.

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot \ln (3^{\frac{2197}{27}})$

Schritt 4.2.9

Vereinfache $\frac{1}{3} \ln (3^{\frac{2197}{27}})$ , indem du $\frac{1}{3}$ in den Logarithmus ziehst.

$f (3) = \ln ({(3^{\frac{2197}{27}})}^{\frac{1}{3}})$

Schritt 4.2.10

Multipliziere die Exponenten in ${(3^{\frac{2197}{27}})}^{\frac{1}{3}}$ .

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Schritt 4.2.10.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (3) = \ln (3^{\frac{2197}{27} \cdot \frac{1}{3}})$

Schritt 4.2.10.2

Multipliziere $\frac{2197}{27} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Schritt 4.2.10.2.1

Mutltipliziere $\frac{2197}{27}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$f (3) = \ln (3^{\frac{2197}{27 \cdot 3}})$

Schritt 4.2.10.2.2

Mutltipliziere $27$ mit $3$ .

$f (3) = \ln (3^{\frac{2197}{81}})$

Schritt 4.2.11

Die endgültige Lösung ist $\ln (3^{\frac{2197}{81}})$ .

$\ln (3^{\frac{2197}{81}})$

Schritt 4.3

Konvertiere $\ln (3^{\frac{2197}{81}})$ nach Dezimal.

$y = 29.79816294$

Schritt 5

Die logarithmische Funktion kann graphisch dargestellt werden mithilfe der vertikalen Asymptote bei $x = 0$ und den Punkten $(1, 0), (2, 21.0543456), (3, 29.79816294)$ .

Vertikale Asymptote: $x = 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 0 \\ 2 & 21.054 \\ 3 & 29.798 \end{array}$

Schritt 6