Analysis Beispiele

$t \sqrt{\ln (t)}$

Schritt 1

Bestimme den Definitionsbereich von $y = t \sqrt{\ln (t)}$ , sodass eine Liste von $x$ -Werten ausgewählt werden kann, um eine Liste von Punkten zu erzeugen, die dazu dient, die Wurzelfunktion graphisch darzustellen.

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Schritt 1.1

Setze das Argument in $\ln (x)$ größer als $0$ , um zu ermitteln. wo der Ausdruck definiert ist.

$x > 0$

Schritt 1.2

Setze den Radikanden in $\sqrt{\ln (x)}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\ln (x) \geq 0$

Schritt 1.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.3.1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$\ln (x) = 0$

Schritt 1.3.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.3.2.1

Um nach $x$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (x)} = e^{0}$

Schritt 1.3.2.2

Schreibe $\ln (x) = 0$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{0} = x$

Schritt 1.3.2.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.3.2.3.1

Schreibe die Gleichung als $x = e^{0}$ um.

$x = e^{0}$

Schritt 1.3.2.3.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$x = 1$

Schritt 1.3.3

Bestimme den Definitionsbereich von $\ln (x)$ .

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Schritt 1.3.3.1

Setze das Argument in $\ln (x)$ größer als $0$ , um zu ermitteln. wo der Ausdruck definiert ist.

$x > 0$

Schritt 1.3.3.2

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(0, \infty)$

Schritt 1.3.4

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x \geq 1$

Schritt 1.4

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$[1, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \geq 1}$

Intervallschreibweise:

$[1, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \geq 1}$

Schritt 2

Um den Endpunkt des Wurzelausdrucks zu ermitteln, setze den $x$ -Wert $1$ , welcher der kleinste Wert im Definitionsbereich ist, in $f (x) = x \sqrt{\ln (x)}$ ein.

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = (1) \sqrt{\ln (1)}$

Schritt 2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.1

Mutltipliziere $\sqrt{\ln (1)}$ mit $1$ .

$f (1) = \sqrt{\ln (1)}$

Schritt 2.2.2

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$f (1) = \sqrt{0}$

Schritt 2.2.3

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$f (1) = \sqrt{0^{2}}$

Schritt 2.2.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (1) = 0$

Schritt 2.2.5

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 3

Der Endpunkt des Wurzelausdrucks ist $(1, 0)$ .

$(1, 0)$

Schritt 4

Wähle einige $x$ -Werte aus dem Definitionsbereich. Es wäre nützlicher, die Werte so zu wählen, dass sie nahe beim $x$ -Wert des Endpunktes des Wurzelausdrucks liegen.

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Schritt 4.1

Setze den $x$ -Wert $2$ in $f (x) = x \sqrt{\ln (x)}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(2, 2 \sqrt{\ln (2)})$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = (2) \sqrt{\ln (2)}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $\sqrt{\ln (2)}$ .

$f (2) = 2 \sqrt{\ln (2)}$

Schritt 4.1.2.2

Die endgültige Lösung ist $2 \sqrt{\ln (2)}$ .

$y = 2 \sqrt{\ln (2)}$

Schritt 4.2

Setze den $x$ -Wert $3$ in $f (x) = x \sqrt{\ln (x)}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(3, 3 \sqrt{\ln (3)})$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f (3) = (3) \sqrt{\ln (3)}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $\sqrt{\ln (3)}$ .

$f (3) = 3 \sqrt{\ln (3)}$

Schritt 4.2.2.2

Die endgültige Lösung ist $3 \sqrt{\ln (3)}$ .

$y = 3 \sqrt{\ln (3)}$

Schritt 4.3

Die Quadratwurzelfunktion kann mithilfe der Punkte um den Scheitelpunkt $(1, 0), (2, 1.67), (3, 3.14)$ graphisch dargestellt werden

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 0 \\ 2 & 1.67 \\ 3 & 3.14 \end{array}$

Schritt 5