Analysis Beispiele

$\log_{5} (\frac{125 \cdot \sqrt{625}}{5^{2} \cdot 25^{2}})$

Schritt 1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1

Schreibe $625$ als $25^{2}$ um.

$\log_{5} (\frac{125 \sqrt{25^{2}}}{5^{2} \cdot 25^{2}})$

Schritt 1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\log_{5} (\frac{125 \cdot 25}{5^{2} \cdot 25^{2}})$

Schritt 2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\log_{5} (\frac{125 \cdot 25}{5^{2} \cdot {(5^{2})}^{2}})$

Schritt 2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(5^{2})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{5} (\frac{125 \cdot 25}{5^{2} \cdot 5^{2 \cdot 2}})$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\log_{5} (\frac{125 \cdot 25}{5^{2} \cdot 5^{4}})$

Schritt 2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\log_{5} (\frac{125 \cdot 25}{5^{2 + 4}})$

Schritt 2.4

Addiere $2$ und $4$ .

$\log_{5} (\frac{125 \cdot 25}{5^{6}})$

Schritt 3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $125$ mit $25$ .

$\log_{5} (\frac{3125}{5^{6}})$

Schritt 3.2

Potenziere $5$ mit $6$ .

$\log_{5} (\frac{3125}{15625})$

Schritt 3.3

Vereinfache den Ausdruck $\frac{3125}{15625}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $3125$ aus $3125$ heraus.

$\log_{5} (\frac{3125 (1)}{15625})$

Schritt 3.3.2

Faktorisiere $3125$ aus $15625$ heraus.

$\log_{5} (\frac{3125 \cdot 1}{3125 \cdot 5})$

Schritt 3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log_{5} (\frac{3125 \cdot 1}{3125 \cdot 5})$

Schritt 3.3.4

Forme den Ausdruck um.

$\log_{5} (\frac{1}{5})$

Schritt 4

Schreibe $\frac{1}{5}$ als $1 \cdot 5^{- 1}$ um.

$\log_{5} (1 \cdot 5^{- 1})$

Schritt 5

Schreibe $\log_{5} (1 \cdot 5^{- 1})$ als $\log_{5} (1) + \log_{5} (5^{- 1})$ um.

$\log_{5} (1) + \log_{5} (5^{- 1})$

Schritt 6

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $- 1$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$\log_{5} (1) - \log_{5} (5)$

Schritt 7

Die logarithmische Basis $5$ von $5$ ist $1$ .

$\log_{5} (1) - 1 \cdot 1$

Schritt 8

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\log_{5} (1) - 1$

Schritt 9

Die logarithmische Basis $5$ von $1$ ist $0$ .

$0 - 1$

Schritt 10

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$- 1$