Analysis Beispiele

$f (x) = x^{\frac{9}{10}} - 6$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{\frac{9}{10}} - 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{\frac{9}{10}}] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{9}{10}}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [x^{\frac{9}{10}}]$ .

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Schritt 1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{9}{10}$ .

$\frac{9}{10} x^{\frac{9}{10} - 1} + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 1.2.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{10}{10}$ .

$\frac{9}{10} x^{\frac{9}{10} - 1 \cdot \frac{10}{10}} + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 1.2.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{10}{10}$ .

$\frac{9}{10} x^{\frac{9}{10} + \frac{- 1 \cdot 10}{10}} + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 1.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{9}{10} x^{\frac{9 - 1 \cdot 10}{10}} + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 1.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $10$ .

$\frac{9}{10} x^{\frac{9 - 10}{10}} + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 1.2.5.2

Subtrahiere $10$ von $9$ .

$\frac{9}{10} x^{\frac{- 1}{10}} + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 1.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{9}{10} x^{- \frac{1}{10}} + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 1.3

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{9}{10} x^{- \frac{1}{10}} + 0$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{9}{10} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{10}}} + 0$

Schritt 1.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.4.2.1

Mutltipliziere $\frac{9}{10}$ mit $\frac{1}{x^{\frac{1}{10}}}$ .

$\frac{9}{10 x^{\frac{1}{10}}} + 0$

Schritt 1.4.2.2

Addiere $\frac{9}{10 x^{\frac{1}{10}}}$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{9}{10 x^{\frac{1}{10}}}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Da $\frac{9}{10}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{9}{10 x^{\frac{1}{10}}}$ nach $x$ gleich $\frac{9}{10} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{10}}}]$ .

$\frac{9}{10} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{10}}}]$

Schritt 2.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.2.1

Schreibe $\frac{1}{x^{\frac{1}{10}}}$ als ${(x^{\frac{1}{10}})}^{- 1}$ um.

$\frac{9}{10} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{10}})}^{- 1}]$

Schritt 2.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{10}})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{9}{10} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{10} \cdot - 1}]$

Schritt 2.2.2.2

Kombiniere $\frac{1}{10}$ und $- 1$ .

$\frac{9}{10} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{10}}]$

Schritt 2.2.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{9}{10} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{10}}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{1}{10}$ .

$\frac{9}{10} (- \frac{1}{10} x^{- \frac{1}{10} - 1})$

Schritt 2.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{10}{10}$ .

$\frac{9}{10} (- \frac{1}{10} x^{- \frac{1}{10} - 1 \cdot \frac{10}{10}})$

Schritt 2.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{10}{10}$ .

$\frac{9}{10} (- \frac{1}{10} x^{- \frac{1}{10} + \frac{- 1 \cdot 10}{10}})$

Schritt 2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{9}{10} (- \frac{1}{10} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 10}{10}})$

Schritt 2.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $10$ .

$\frac{9}{10} (- \frac{1}{10} x^{\frac{- 1 - 10}{10}})$

Schritt 2.7.2

Subtrahiere $10$ von $- 1$ .

$\frac{9}{10} (- \frac{1}{10} x^{\frac{- 11}{10}})$

Schritt 2.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{9}{10} (- \frac{1}{10} x^{- \frac{11}{10}})$

Schritt 2.9

Kombiniere $x^{- \frac{11}{10}}$ und $\frac{1}{10}$ .

$\frac{9}{10} (- \frac{x^{- \frac{11}{10}}}{10})$

Schritt 2.10

Mutltipliziere $\frac{9}{10}$ mit $\frac{x^{- \frac{11}{10}}}{10}$ .

$- \frac{9 x^{- \frac{11}{10}}}{10 \cdot 10}$

Schritt 2.11

Multipliziere.

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Schritt 2.11.1

Mutltipliziere $10$ mit $10$ .

$- \frac{9 x^{- \frac{11}{10}}}{100}$

Schritt 2.11.2

Bringe $x^{- \frac{11}{10}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{9}{100 x^{\frac{11}{10}}}$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

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Schritt 3.1

Da $- \frac{9}{100}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{9}{100 x^{\frac{11}{10}}}$ nach $x$ gleich $- \frac{9}{100} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{11}{10}}}]$ .

$- \frac{9}{100} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{11}{10}}}]$

Schritt 3.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 3.2.1

Schreibe $\frac{1}{x^{\frac{11}{10}}}$ als ${(x^{\frac{11}{10}})}^{- 1}$ um.

$- \frac{9}{100} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{11}{10}})}^{- 1}]$

Schritt 3.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{11}{10}})}^{- 1}$ .

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Schritt 3.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{9}{100} \frac{d}{d x} [x^{\frac{11}{10} \cdot - 1}]$

Schritt 3.2.2.2

Multipliziere $\frac{11}{10} \cdot - 1$ .

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Schritt 3.2.2.2.1

Kombiniere $\frac{11}{10}$ und $- 1$ .

$- \frac{9}{100} \frac{d}{d x} [x^{\frac{11 \cdot - 1}{10}}]$

Schritt 3.2.2.2.2

Mutltipliziere $11$ mit $- 1$ .

$- \frac{9}{100} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 11}{10}}]$

Schritt 3.2.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{9}{100} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{11}{10}}]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{11}{10}$ .

$- \frac{9}{100} (- \frac{11}{10} x^{- \frac{11}{10} - 1})$

Schritt 3.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{10}{10}$ .

$- \frac{9}{100} (- \frac{11}{10} x^{- \frac{11}{10} - 1 \cdot \frac{10}{10}})$

Schritt 3.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{10}{10}$ .

$- \frac{9}{100} (- \frac{11}{10} x^{- \frac{11}{10} + \frac{- 1 \cdot 10}{10}})$

Schritt 3.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{9}{100} (- \frac{11}{10} x^{\frac{- 11 - 1 \cdot 10}{10}})$

Schritt 3.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $10$ .

$- \frac{9}{100} (- \frac{11}{10} x^{\frac{- 11 - 10}{10}})$

Schritt 3.7.2

Subtrahiere $10$ von $- 11$ .

$- \frac{9}{100} (- \frac{11}{10} x^{\frac{- 21}{10}})$

Schritt 3.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{9}{100} (- \frac{11}{10} x^{- \frac{21}{10}})$

Schritt 3.9

Kombiniere $x^{- \frac{21}{10}}$ und $\frac{11}{10}$ .

$- \frac{9}{100} (- \frac{x^{- \frac{21}{10}} \cdot 11}{10})$

Schritt 3.10

Multipliziere.

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Schritt 3.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 (\frac{9}{100}) \frac{x^{- \frac{21}{10}} \cdot 11}{10}$

Schritt 3.10.2

Mutltipliziere $\frac{9}{100}$ mit $1$ .

$\frac{9}{100} \cdot \frac{x^{- \frac{21}{10}} \cdot 11}{10}$

Schritt 3.11

Mutltipliziere $\frac{9}{100}$ mit $\frac{x^{- \frac{21}{10}} \cdot 11}{10}$ .

$\frac{9 (x^{- \frac{21}{10}} \cdot 11)}{100 \cdot 10}$

Schritt 3.12

Multipliziere.

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Schritt 3.12.1

Mutltipliziere $11$ mit $9$ .

$\frac{99 x^{- \frac{21}{10}}}{100 \cdot 10}$

Schritt 3.12.2

Mutltipliziere $100$ mit $10$ .

$\frac{99 x^{- \frac{21}{10}}}{1000}$

Schritt 3.12.3

Bringe $x^{- \frac{21}{10}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f''' (x) = \frac{99}{1000 x^{\frac{21}{10}}}$

Schritt 4

Bestimme die vierte Ableitung.

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Schritt 4.1

Da $\frac{99}{1000}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{99}{1000 x^{\frac{21}{10}}}$ nach $x$ gleich $\frac{99}{1000} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{21}{10}}}]$ .

$\frac{99}{1000} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{21}{10}}}]$

Schritt 4.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 4.2.1

Schreibe $\frac{1}{x^{\frac{21}{10}}}$ als ${(x^{\frac{21}{10}})}^{- 1}$ um.

$\frac{99}{1000} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{21}{10}})}^{- 1}]$

Schritt 4.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{21}{10}})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{99}{1000} \frac{d}{d x} [x^{\frac{21}{10} \cdot - 1}]$

Schritt 4.2.2.2

Multipliziere $\frac{21}{10} \cdot - 1$ .

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Schritt 4.2.2.2.1

Kombiniere $\frac{21}{10}$ und $- 1$ .

$\frac{99}{1000} \frac{d}{d x} [x^{\frac{21 \cdot - 1}{10}}]$

Schritt 4.2.2.2.2

Mutltipliziere $21$ mit $- 1$ .

$\frac{99}{1000} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 21}{10}}]$

Schritt 4.2.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{99}{1000} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{21}{10}}]$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{21}{10}$ .

$\frac{99}{1000} (- \frac{21}{10} x^{- \frac{21}{10} - 1})$

Schritt 4.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{10}{10}$ .

$\frac{99}{1000} (- \frac{21}{10} x^{- \frac{21}{10} - 1 \cdot \frac{10}{10}})$

Schritt 4.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{10}{10}$ .

$\frac{99}{1000} (- \frac{21}{10} x^{- \frac{21}{10} + \frac{- 1 \cdot 10}{10}})$

Schritt 4.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{99}{1000} (- \frac{21}{10} x^{\frac{- 21 - 1 \cdot 10}{10}})$

Schritt 4.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $10$ .

$\frac{99}{1000} (- \frac{21}{10} x^{\frac{- 21 - 10}{10}})$

Schritt 4.7.2

Subtrahiere $10$ von $- 21$ .

$\frac{99}{1000} (- \frac{21}{10} x^{\frac{- 31}{10}})$

Schritt 4.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{99}{1000} (- \frac{21}{10} x^{- \frac{31}{10}})$

Schritt 4.9

Kombiniere $x^{- \frac{31}{10}}$ und $\frac{21}{10}$ .

$\frac{99}{1000} (- \frac{x^{- \frac{31}{10}} \cdot 21}{10})$

Schritt 4.10

Mutltipliziere $\frac{99}{1000}$ mit $\frac{x^{- \frac{31}{10}} \cdot 21}{10}$ .

$- \frac{99 (x^{- \frac{31}{10}} \cdot 21)}{1000 \cdot 10}$

Schritt 4.11

Multipliziere.

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Schritt 4.11.1

Mutltipliziere $21$ mit $99$ .

$- \frac{2079 x^{- \frac{31}{10}}}{1000 \cdot 10}$

Schritt 4.11.2

Mutltipliziere $1000$ mit $10$ .

$- \frac{2079 x^{- \frac{31}{10}}}{10000}$

Schritt 4.11.3

Bringe $x^{- \frac{31}{10}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{2079}{10000 x^{\frac{31}{10}}}$

Schritt 5

Die vierte Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{2079}{10000 x^{\frac{31}{10}}}$ .

$- \frac{2079}{10000 x^{\frac{31}{10}}}$