Analysis Beispiele

$6 x^{5} + 7 y^{5} = 13 x y$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (6 x^{5} + 7 y^{5}) = \frac{d}{d x} (13 x y)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 x^{5} + 7 y^{5}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [7 y^{5}]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [7 y^{5}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [6 x^{5}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x^{5}$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [7 y^{5}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$6 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [7 y^{5}]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $5$ mit $6$ .

$30 x^{4} + \frac{d}{d x} [7 y^{5}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [7 y^{5}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7 y^{5}$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [y^{5}]$ .

$30 x^{4} + 7 \frac{d}{d x} [y^{5}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{5}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$30 x^{4} + 7 (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$30 x^{4} + 7 (5 u^{4} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$30 x^{4} + 7 (5 y^{4} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$30 x^{4} + 7 (5 y^{4} y')$

Schritt 2.3.4

Mutltipliziere $5$ mit $7$ .

$30 x^{4} + 35 y^{4} y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Da $13$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $13 x y$ nach $x$ gleich $13 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$13 \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$13 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$13 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$13 (x y' + y \cdot 1)$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$13 (x y' + y)$

Schritt 3.6

Wende das Distributivgesetz an.

$13 x y' + 13 y$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$30 x^{4} + 35 y^{4} y' = 13 x y' + 13 y$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $13 x y'$ von beiden Seiten der Gleichung.

$30 x^{4} + 35 y^{4} y' - 13 x y' = 13 y$

Schritt 5.2

Subtrahiere $30 x^{4}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$35 y^{4} y' - 13 x y' = 13 y - 30 x^{4}$

Schritt 5.3

Faktorisiere $y'$ aus $35 y^{4} y' - 13 x y'$ heraus.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $y'$ aus $35 y^{4} y'$ heraus.

$y' (35 y^{4}) - 13 x y' = 13 y - 30 x^{4}$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $y'$ aus $- 13 x y'$ heraus.

$y' (35 y^{4}) + y' (- 13 x) = 13 y - 30 x^{4}$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' (35 y^{4}) + y' (- 13 x)$ heraus.

$y' (35 y^{4} - 13 x) = 13 y - 30 x^{4}$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $y' (35 y^{4} - 13 x) = 13 y - 30 x^{4}$ durch $35 y^{4} - 13 x$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (35 y^{4} - 13 x) = 13 y - 30 x^{4}$ durch $35 y^{4} - 13 x$ .

$\frac{y' (35 y^{4} - 13 x)}{35 y^{4} - 13 x} = \frac{13 y}{35 y^{4} - 13 x} + \frac{- 30 x^{4}}{35 y^{4} - 13 x}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $35 y^{4} - 13 x$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (35 y^{4} - 13 x)}{35 y^{4} - 13 x} = \frac{13 y}{35 y^{4} - 13 x} + \frac{- 30 x^{4}}{35 y^{4} - 13 x}$

Schritt 5.4.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{13 y}{35 y^{4} - 13 x} + \frac{- 30 x^{4}}{35 y^{4} - 13 x}$

Schritt 5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{13 y - 30 x^{4}}{35 y^{4} - 13 x}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{13 y - 30 x^{4}}{35 y^{4} - 13 x}$