Analysis Beispiele

${(2 x - y)}^{2} - 3 y = 2$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} ({(2 x - y)}^{2} - 3 y) = \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Schreibe ${(2 x - y)}^{2}$ als $(2 x - y) (2 x - y)$ um.

$\frac{d}{d x} [(2 x - y) (2 x - y) - 3 y]$

Schritt 2.2

Multipliziere $(2 x - y) (2 x - y)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [2 x (2 x - y) - y (2 x - y) - 3 y]$

Schritt 2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [2 x (2 x) + 2 x (- y) - y (2 x - y) - 3 y]$

Schritt 2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [2 x (2 x) + 2 x (- y) - y (2 x) - y (- y) - 3 y]$

Schritt 2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{d}{d x} [2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x (- y) - y (2 x) - y (- y) - 3 y]$

Schritt 2.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{d}{d x} [2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x (- y) - y (2 x) - y (- y) - 3 y]$

Schritt 2.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{d}{d x} [2 \cdot 2 x^{2} + 2 x (- y) - y (2 x) - y (- y) - 3 y]$

Schritt 2.3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 x (- y) - y (2 x) - y (- y) - 3 y]$

Schritt 2.3.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 \cdot - 1 x y - y (2 x) - y (- y) - 3 y]$

Schritt 2.3.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 2 x y - y (2 x) - y (- y) - 3 y]$

Schritt 2.3.1.6

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 2 x y - 1 \cdot 2 y x - y (- y) - 3 y]$

Schritt 2.3.1.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 2 x y - 2 y x - y (- y) - 3 y]$

Schritt 2.3.1.8

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 2 x y - 2 y x - 1 \cdot - 1 y \cdot y - 3 y]$

Schritt 2.3.1.9

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.1.9.1

Bewege $y$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 2 x y - 2 y x - 1 \cdot - 1 (y \cdot y) - 3 y]$

Schritt 2.3.1.9.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 2 x y - 2 y x - 1 \cdot - 1 y^{2} - 3 y]$

Schritt 2.3.1.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 2 x y - 2 y x + 1 y^{2} - 3 y]$

Schritt 2.3.1.11

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 2 x y - 2 y x + y^{2} - 3 y]$

Schritt 2.3.2

Subtrahiere $2 y x$ von $- 2 x y$ .

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Schritt 2.3.2.1

Bewege $y$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 2 x y - 2 x y + y^{2} - 3 y]$

Schritt 2.3.2.2

Subtrahiere $2 x y$ von $- 2 x y$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x y + y^{2} - 3 y]$

Schritt 2.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{2} - 4 x y + y^{2} - 3 y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$

Schritt 2.5

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Schritt 2.5.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{2}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$

Schritt 2.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$

Schritt 2.5.3

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$8 x + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$

Schritt 2.6

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 x y]$ .

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Schritt 2.6.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x y$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$8 x - 4 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$

Schritt 2.6.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$8 x - 4 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$

Schritt 2.6.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$8 x - 4 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$

Schritt 2.6.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$8 x - 4 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$

Schritt 2.6.5

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$8 x - 4 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$

Schritt 2.7

Berechne $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Schritt 2.7.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.7.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$8 x - 4 (x y' + y) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$

Schritt 2.7.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$8 x - 4 (x y' + y) + 2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$

Schritt 2.7.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$8 x - 4 (x y' + y) + 2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$

Schritt 2.7.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$8 x - 4 (x y' + y) + 2 y y' + \frac{d}{d x} [- 3 y]$

Schritt 2.8

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 y]$ .

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Schritt 2.8.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 y$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$8 x - 4 (x y' + y) + 2 y y' - 3 \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.8.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$8 x - 4 (x y' + y) + 2 y y' - 3 y'$

Schritt 2.9

Vereinfache.

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Schritt 2.9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$8 x - 4 (x y') - 4 y + 2 y y' - 3 y'$

Schritt 2.9.2

Entferne unnötige Klammern.

$8 x - 4 x y' - 4 y + 2 y y' - 3 y'$

Schritt 2.9.3

Stelle die Terme um.

$- 4 x y' + 2 y y' + 8 x - 4 y - 3 y'$

Schritt 3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$- 4 x y' + 2 y y' + 8 x - 4 y - 3 y' = 0$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1.1

Subtrahiere $8 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 x y' + 2 y y' - 4 y - 3 y' = - 8 x$

Schritt 5.1.2

Addiere $4 y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 x y' + 2 y y' - 3 y' = - 8 x + 4 y$

Schritt 5.2

Faktorisiere $y'$ aus $- 4 x y' + 2 y y' - 3 y'$ heraus.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $y'$ aus $- 4 x y'$ heraus.

$y' (- 4 x) + 2 y y' - 3 y' = - 8 x + 4 y$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $y'$ aus $2 y y'$ heraus.

$y' (- 4 x) + y' (2 y) - 3 y' = - 8 x + 4 y$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $y'$ aus $- 3 y'$ heraus.

$y' (- 4 x) + y' (2 y) + y' \cdot - 3 = - 8 x + 4 y$

Schritt 5.2.4

Faktorisiere $y'$ aus $y' (- 4 x) + y' (2 y)$ heraus.

$y' (- 4 x + 2 y) + y' \cdot - 3 = - 8 x + 4 y$

Schritt 5.2.5

Faktorisiere $y'$ aus $y' (- 4 x + 2 y) + y' \cdot - 3$ heraus.

$y' (- 4 x + 2 y - 3) = - 8 x + 4 y$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $y' (- 4 x + 2 y - 3) = - 8 x + 4 y$ durch $- 4 x + 2 y - 3$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (- 4 x + 2 y - 3) = - 8 x + 4 y$ durch $- 4 x + 2 y - 3$ .

$\frac{y' (- 4 x + 2 y - 3)}{- 4 x + 2 y - 3} = \frac{- 8 x}{- 4 x + 2 y - 3} + \frac{4 y}{- 4 x + 2 y - 3}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 4 x + 2 y - 3$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (- 4 x + 2 y - 3)}{- 4 x + 2 y - 3} = \frac{- 8 x}{- 4 x + 2 y - 3} + \frac{4 y}{- 4 x + 2 y - 3}$

Schritt 5.3.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 8 x}{- 4 x + 2 y - 3} + \frac{4 y}{- 4 x + 2 y - 3}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{- 8 x + 4 y}{- 4 x + 2 y - 3}$

Schritt 5.3.3.2

Faktorisiere $4$ aus $- 8 x + 4 y$ heraus.

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Schritt 5.3.3.2.1

Faktorisiere $4$ aus $- 8 x$ heraus.

$y' = \frac{4 (- 2 x) + 4 y}{- 4 x + 2 y - 3}$

Schritt 5.3.3.2.2

Faktorisiere $4$ aus $4 y$ heraus.

$y' = \frac{4 (- 2 x) + 4 (y)}{- 4 x + 2 y - 3}$

Schritt 5.3.3.2.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (- 2 x) + 4 (y)$ heraus.

$y' = \frac{4 (- 2 x + y)}{- 4 x + 2 y - 3}$

Schritt 5.3.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x$ heraus.

$y' = \frac{4 (- (2 x) + y)}{- 4 x + 2 y - 3}$

Schritt 5.3.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $y$ heraus.

$y' = \frac{4 (- (2 x) - 1 (- y))}{- 4 x + 2 y - 3}$

Schritt 5.3.3.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x) - 1 (- y)$ heraus.

$y' = \frac{4 (- (2 x - y))}{- 4 x + 2 y - 3}$

Schritt 5.3.3.6

Schreibe $- (2 x - y)$ als $- 1 (2 x - y)$ um.

$y' = \frac{4 (- 1 (2 x - y))}{- 4 x + 2 y - 3}$

Schritt 5.3.3.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 4 x$ heraus.

$y' = \frac{4 (- 1 (2 x - y))}{- (4 x) + 2 y - 3}$

Schritt 5.3.3.8

Faktorisiere $- 1$ aus $2 y$ heraus.

$y' = \frac{4 (- 1 (2 x - y))}{- (4 x) - (- 2 y) - 3}$

Schritt 5.3.3.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- (4 x) - (- 2 y)$ heraus.

$y' = \frac{4 (- 1 (2 x - y))}{- (4 x - 2 y) - 3}$

Schritt 5.3.3.10

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$y' = \frac{4 (- 1 (2 x - y))}{- (4 x - 2 y) - 1 (3)}$

Schritt 5.3.3.11

Faktorisiere $- 1$ aus $- (4 x - 2 y) - 1 (3)$ heraus.

$y' = \frac{4 (- 1 (2 x - y))}{- (4 x - 2 y + 3)}$

Schritt 5.3.3.12

Schreibe $- (4 x - 2 y + 3)$ als $- 1 (4 x - 2 y + 3)$ um.

$y' = \frac{4 (- 1 (2 x - y))}{- 1 (4 x - 2 y + 3)}$

Schritt 5.3.3.13

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{4 (- 1 (2 x - y))}{- 1 (4 x - 2 y + 3)}$

Schritt 5.3.3.14

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{4 (2 x - y)}{4 x - 2 y + 3}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 (2 x - y)}{4 x - 2 y + 3}$