Analysis Beispiele

$x^{2} - x y - 3 y - 1 = 0$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x^{2} - x y - 3 y - 1) = \frac{d}{d x} (0)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - x y - 3 y - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 3 y] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 3 y] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 3 y] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x y$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 x - \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 3 y] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$2 x - (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 3 y] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 x - (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 3 y] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 x - (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 3 y] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.2.5

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$2 x - (x y' + y) + \frac{d}{d x} [- 3 y] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 y]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 y$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 x - (x y' + y) - 3 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 x - (x y' + y) - 3 y' + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x - (x y' + y) - 3 y' + 0$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x - (x y') - y - 3 y' + 0$

Schritt 2.5.2

Addiere $2 x - x y' - y - 3 y'$ und $0$ .

$2 x - x y' - y - 3 y'$

Schritt 2.5.3

Stelle die Terme um.

$- x y' + 2 x - y - 3 y'$

Schritt 3

Da $0$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $0$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$- x y' + 2 x - y - 3 y' = 0$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1.1

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x y' - y - 3 y' = - 2 x$

Schritt 5.1.2

Addiere $y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- x y' - 3 y' = - 2 x + y$

Schritt 5.2

Faktorisiere $y'$ aus $- x y' - 3 y'$ heraus.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $y'$ aus $- x y'$ heraus.

$y' (- x) - 3 y' = - 2 x + y$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $y'$ aus $- 3 y'$ heraus.

$y' (- x) + y' \cdot - 3 = - 2 x + y$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' (- x) + y' \cdot - 3$ heraus.

$y' (- x - 3) = - 2 x + y$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $y' (- x - 3) = - 2 x + y$ durch $- x - 3$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (- x - 3) = - 2 x + y$ durch $- x - 3$ .

$\frac{y' (- x - 3)}{- x - 3} = \frac{- 2 x}{- x - 3} + \frac{y}{- x - 3}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- x - 3$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (- x - 3)}{- x - 3} = \frac{- 2 x}{- x - 3} + \frac{y}{- x - 3}$

Schritt 5.3.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{- x - 3} + \frac{y}{- x - 3}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{2 x}{- x - 3} + \frac{y}{- x - 3}$

Schritt 5.3.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{- 2 x + y}{- x - 3}$

Schritt 5.3.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x$ heraus.

$y' = \frac{- (2 x) + y}{- x - 3}$

Schritt 5.3.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $y$ heraus.

$y' = \frac{- (2 x) - 1 (- y)}{- x - 3}$

Schritt 5.3.3.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x) - 1 (- y)$ heraus.

$y' = \frac{- (2 x - y)}{- x - 3}$

Schritt 5.3.3.6

Schreibe $- (2 x - y)$ als $- 1 (2 x - y)$ um.

$y' = \frac{- 1 (2 x - y)}{- x - 3}$

Schritt 5.3.3.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$y' = \frac{- 1 (2 x - y)}{- (x) - 3}$

Schritt 5.3.3.8

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$y' = \frac{- 1 (2 x - y)}{- (x) - 1 (3)}$

Schritt 5.3.3.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (3)$ heraus.

$y' = \frac{- 1 (2 x - y)}{- (x + 3)}$

Schritt 5.3.3.10

Schreibe $- (x + 3)$ als $- 1 (x + 3)$ um.

$y' = \frac{- 1 (2 x - y)}{- 1 (x + 3)}$

Schritt 5.3.3.11

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{- 1 (2 x - y)}{- 1 (x + 3)}$

Schritt 5.3.3.12

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{2 x - y}{x + 3}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x - y}{x + 3}$