Analysis Beispiele

$y^{6} - 7 x^{5} = 7 x$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y^{6} - 7 x^{5}) = \frac{d}{d x} (7 x)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y^{6} - 7 x^{5}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [y^{6}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{5}]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{6}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{5}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [y^{6}]$ .

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{6}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{6}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{5}]$

Schritt 2.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 6$ .

$6 u^{5} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{5}]$

Schritt 2.2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$6 y^{5} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{5}]$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$6 y^{5} y' + \frac{d}{d x} [- 7 x^{5}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 7 x^{5}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 7 x^{5}$ nach $x$ gleich $- 7 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$6 y^{5} y' - 7 \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$6 y^{5} y' - 7 (5 x^{4})$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $5$ mit $- 7$ .

$6 y^{5} y' - 35 x^{4}$

Schritt 2.4

Stelle die Terme um.

$- 35 x^{4} + 6 y^{5} y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7 x$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$7 \cdot 1$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $7$ mit $1$ .

$7$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$- 35 x^{4} + 6 y^{5} y' = 7$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Addiere $35 x^{4}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$6 y^{5} y' = 7 + 35 x^{4}$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $6 y^{5} y' = 7 + 35 x^{4}$ durch $6 y^{5}$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $6 y^{5} y' = 7 + 35 x^{4}$ durch $6 y^{5}$ .

$\frac{6 y^{5} y'}{6 y^{5}} = \frac{7}{6 y^{5}} + \frac{35 x^{4}}{6 y^{5}}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 y^{5} y'}{6 y^{5}} = \frac{7}{6 y^{5}} + \frac{35 x^{4}}{6 y^{5}}$

Schritt 5.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y^{5} y'}{y^{5}} = \frac{7}{6 y^{5}} + \frac{35 x^{4}}{6 y^{5}}$

Schritt 5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{5}$ .

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Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y^{5} y'}{y^{5}} = \frac{7}{6 y^{5}} + \frac{35 x^{4}}{6 y^{5}}$

Schritt 5.2.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{7}{6 y^{5}} + \frac{35 x^{4}}{6 y^{5}}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{7}{6 y^{5}} + \frac{35 x^{4}}{6 y^{5}}$