Analysis Beispiele

$6 e^{5 t} = 3 e^{2 t}$

Schritt 1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (6 e^{5 t}) = \ln (3 e^{2 t})$

Schritt 2

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 2.1

Schreibe $\ln (6 e^{5 t})$ als $\ln (6) + \ln (e^{5 t})$ um.

$\ln (6) + \ln (e^{5 t}) = \ln (3 e^{2 t})$

Schritt 2.2

Zerlege $\ln (e^{5 t})$ durch Herausziehen von $5 t$ aus dem Logarithmus.

$\ln (6) + 5 t \ln (e) = \ln (3 e^{2 t})$

Schritt 2.3

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$\ln (6) + 5 t \cdot 1 = \ln (3 e^{2 t})$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$\ln (6) + 5 t = \ln (3 e^{2 t})$

Schritt 3

Multipliziere die rechte Seite aus.

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Schritt 3.1

Schreibe $\ln (3 e^{2 t})$ als $\ln (3) + \ln (e^{2 t})$ um.

$\ln (6) + 5 t = \ln (3) + \ln (e^{2 t})$

Schritt 3.2

Zerlege $\ln (e^{2 t})$ durch Herausziehen von $2 t$ aus dem Logarithmus.

$\ln (6) + 5 t = \ln (3) + 2 t \ln (e)$

Schritt 3.3

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$\ln (6) + 5 t = \ln (3) + 2 t \cdot 1$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\ln (6) + 5 t = \ln (3) + 2 t$

Schritt 4

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (6) - \ln (3) = - 5 t + 2 t$

Schritt 5

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{6}{3}) = - 5 t + 2 t$

Schritt 6

Dividiere $6$ durch $3$ .

$\ln (2) = - 5 t + 2 t$

Schritt 7

Addiere $- 5 t$ und $2 t$ .

$\ln (2) = - 3 t$

Schritt 8

Da $t$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$- 3 t = \ln (2)$

Schritt 9

Teile jeden Ausdruck in $- 3 t = \ln (2)$ durch $- 3$ und vereinfache.

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Schritt 9.1

Teile jeden Ausdruck in $- 3 t = \ln (2)$ durch $- 3$ .

$\frac{- 3 t}{- 3} = \frac{\ln (2)}{- 3}$

Schritt 9.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3$ .

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Schritt 9.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 t}{- 3} = \frac{\ln (2)}{- 3}$

Schritt 9.2.1.2

Dividiere $t$ durch $1$ .

$t = \frac{\ln (2)}{- 3}$

Schritt 9.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$t = - \frac{\ln (2)}{3}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$t = - \frac{\ln (2)}{3}$

Dezimalform:

$t = - 0.23104906 \dots$