Analysis Beispiele

$- \frac{π \sin (\frac{π t}{4})}{4} = 0$

Schritt 1

Setze den Zähler gleich Null.

$π \sin (\frac{π t}{4}) = 0$

Schritt 2

Löse die Gleichung nach $t$ auf.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $π \sin (\frac{π t}{4}) = 0$ durch $π$ und vereinfache.

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Schritt 2.1.1

Teile jeden Ausdruck in $π \sin (\frac{π t}{4}) = 0$ durch $π$ .

$\frac{π \sin (\frac{π t}{4})}{π} = \frac{0}{π}$

Schritt 2.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 2.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{π \sin (\frac{π t}{4})}{π} = \frac{0}{π}$

Schritt 2.1.2.1.2

Dividiere $\sin (\frac{π t}{4})$ durch $1$ .

$\sin (\frac{π t}{4}) = \frac{0}{π}$

Schritt 2.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1.3.1

Dividiere $0$ durch $π$ .

$\sin (\frac{π t}{4}) = 0$

Schritt 2.2

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $t$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$\frac{π t}{4} = \arcsin (0)$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Der genau Wert von $\arcsin (0)$ ist $0$ .

$\frac{π t}{4} = 0$

Schritt 2.4

Setze den Zähler gleich Null.

$π t = 0$

Schritt 2.5

Teile jeden Ausdruck in $π t = 0$ durch $π$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Teile jeden Ausdruck in $π t = 0$ durch $π$ .

$\frac{π t}{π} = \frac{0}{π}$

Schritt 2.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 2.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{π t}{π} = \frac{0}{π}$

Schritt 2.5.2.1.2

Dividiere $t$ durch $1$ .

$t = \frac{0}{π}$

Schritt 2.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.3.1

Dividiere $0$ durch $π$ .

$t = 0$

Schritt 2.6

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$\frac{π t}{4} = π - 0$

Schritt 2.7

Löse nach $t$ auf.

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Schritt 2.7.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{4}{π}$ .

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π t}{4} = \frac{4}{π} (π - 0)$

Schritt 2.7.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 2.7.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.7.2.1.1

Vereinfache $\frac{4}{π} \cdot \frac{π t}{4}$ .

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Schritt 2.7.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.7.2.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π t}{4} = \frac{4}{π} (π - 0)$

Schritt 2.7.2.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{π} (π t) = \frac{4}{π} (π - 0)$

Schritt 2.7.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 2.7.2.1.1.2.1

Faktorisiere $π$ aus $π t$ heraus.

$\frac{1}{π} (π (t)) = \frac{4}{π} (π - 0)$

Schritt 2.7.2.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{π} (π t) = \frac{4}{π} (π - 0)$

Schritt 2.7.2.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$t = \frac{4}{π} (π - 0)$

Schritt 2.7.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.7.2.2.1

Vereinfache $\frac{4}{π} (π - 0)$ .

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Schritt 2.7.2.2.1.1

Subtrahiere $0$ von $π$ .

$t = \frac{4}{π} π$

Schritt 2.7.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 2.7.2.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$t = \frac{4}{π} π$

Schritt 2.7.2.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$t = 4$

Schritt 2.8

Ermittele die Periode von $\sin (\frac{π t}{4})$ .

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Schritt 2.8.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 2.8.2

Ersetze $b$ durch $\frac{π}{4}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| \frac{π}{4} |}$

Schritt 2.8.3

$\frac{π}{4}$ ist ungefähr $0.78539816$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{\frac{π}{4}}$

Schritt 2.8.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 π \frac{4}{π}$

Schritt 2.8.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 2.8.5.1

Faktorisiere $π$ aus $2 π$ heraus.

$π \cdot 2 \frac{4}{π}$

Schritt 2.8.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$π \cdot 2 \frac{4}{π}$

Schritt 2.8.5.3

Forme den Ausdruck um.

$2 \cdot 4$

Schritt 2.8.6

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$8$

Schritt 2.9

Die Periode der Funktion $\sin (\frac{π t}{4})$ ist $8$ , d. h., Werte werden sich alle $8$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$t = 8 n, 4 + 8 n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 3

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$t = 4 n$ , für jede ganze Zahl $n$