Analysis Beispiele

$0 = \frac{35}{2} + \frac{13 \sqrt[30]{e^{29 t}}}{2 e^{t}}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $\frac{35}{2} + \frac{13 \sqrt[30]{e^{29 t}}}{2 e^{t}} = 0$ um.

$\frac{35}{2} + \frac{13 \sqrt[30]{e^{29 t}}}{2 e^{t}} = 0$

Schritt 2

Löse nach $13 \sqrt[30]{e^{29 t}}$ auf.

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Schritt 2.1

Subtrahiere $\frac{35}{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{13 \sqrt[30]{e^{29 t}}}{2 e^{t}} = - \frac{35}{2}$

Schritt 2.2

Multipliziere beide Seiten mit $2 e^{t}$ .

$\frac{13 \sqrt[30]{e^{29 t}}}{2 e^{t}} (2 e^{t}) = - \frac{35}{2} (2 e^{t})$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.1.1

Vereinfache $\frac{13 \sqrt[30]{e^{29 t}}}{2 e^{t}} (2 e^{t})$ .

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Schritt 2.3.1.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 \frac{13 \sqrt[30]{e^{29 t}}}{2 e^{t}} e^{t} = - \frac{35}{2} (2 e^{t})$

Schritt 2.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.1.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 e^{t}$ heraus.

$2 \frac{13 \sqrt[30]{e^{29 t}}}{2 (e^{t})} e^{t} = - \frac{35}{2} (2 e^{t})$

Schritt 2.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{13 \sqrt[30]{e^{29 t}}}{2 e^{t}} e^{t} = - \frac{35}{2} (2 e^{t})$

Schritt 2.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{13 \sqrt[30]{e^{29 t}}}{e^{t}} e^{t} = - \frac{35}{2} (2 e^{t})$

Schritt 2.3.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{t}$ .

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Schritt 2.3.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{13 \sqrt[30]{e^{29 t}}}{e^{t}} e^{t} = - \frac{35}{2} (2 e^{t})$

Schritt 2.3.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$13 \sqrt[30]{e^{29 t}} = - \frac{35}{2} (2 e^{t})$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{35}{2}$ in den Zähler.

$13 \sqrt[30]{e^{29 t}} = \frac{- 35}{2} (2 e^{t})$

Schritt 2.3.2.1.2

Faktorisiere $2$ aus $2 e^{t}$ heraus.

$13 \sqrt[30]{e^{29 t}} = \frac{- 35}{2} (2 (e^{t}))$

Schritt 2.3.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$13 \sqrt[30]{e^{29 t}} = \frac{- 35}{2} (2 e^{t})$

Schritt 2.3.2.1.4

Forme den Ausdruck um.

$13 \sqrt[30]{e^{29 t}} = - 35 e^{t}$

Schritt 3

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur $30$ . Potenz.

${(13 \sqrt[30]{e^{29 t}})}^{30} = {(- 35 e^{t})}^{30}$

Schritt 4

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[30]{e^{29 t}}$ als $e^{\frac{29 t}{30}}$ neu zu schreiben.

${(13 e^{\frac{29 t}{30}})}^{30} = {(- 35 e^{t})}^{30}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache ${(13 e^{\frac{29 t}{30}})}^{30}$ .

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Schritt 4.2.1.1

Wende die Produktregel auf $13 e^{\frac{29 t}{30}}$ an.

$13^{30} {(e^{\frac{29 t}{30}})}^{30} = {(- 35 e^{t})}^{30}$

Schritt 4.2.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{\frac{29 t}{30}})}^{30}$ .

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Schritt 4.2.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$13^{30} e^{\frac{29 t}{30} \cdot 30} = {(- 35 e^{t})}^{30}$

Schritt 4.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $30$ .

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Schritt 4.2.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$13^{30} e^{\frac{29 t}{30} \cdot 30} = {(- 35 e^{t})}^{30}$

Schritt 4.2.1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$13^{30} e^{29 t} = {(- 35 e^{t})}^{30}$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache ${(- 35 e^{t})}^{30}$ .

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Schritt 4.3.1.1

Wende die Produktregel auf $- 35 e^{t}$ an.

$13^{30} e^{29 t} = {(- 35)}^{30} {(e^{t})}^{30}$

Schritt 4.3.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{t})}^{30}$ .

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Schritt 4.3.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$13^{30} e^{29 t} = {(- 35)}^{30} e^{t \cdot 30}$

Schritt 4.3.1.2.2

Bringe $30$ auf die linke Seite von $t$ .

$13^{30} e^{29 t} = {(- 35)}^{30} e^{30 t}$

Schritt 5

Löse nach $t$ auf.

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Schritt 5.1

Subtrahiere ${(- 35)}^{30} e^{30 t}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$13^{30} e^{29 t} - {(- 35)}^{30} e^{30 t} = 0$

Schritt 5.2

Schreibe $e^{29 t}$ als Potenz um.

$13^{30} {(e^{t})}^{29} - {(- 35)}^{30} e^{30 t} = 0$

Schritt 5.3

Schreibe $e^{30 t}$ als Potenz um.

$13^{30} {(e^{t})}^{29} - {(- 35)}^{30} {(e^{t})}^{30} = 0$

Schritt 5.4

Ersetze $e^{t}$ durch $u$ .

$13^{30} u^{29} - {(- 35)}^{30} u^{30} = 0$

Schritt 5.5

Stelle $13^{30} u^{29}$ und $- {(- 35)}^{30} u^{30}$ um.

$- {(- 35)}^{30} u^{30} + 13^{30} u^{29} = 0$

Schritt 5.6

Löse nach $u$ auf.

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Schritt 5.6.1

Faktorisiere $- u^{29}$ aus $- {(- 35)}^{30} u^{30} + 13^{30} u^{29}$ heraus.

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Schritt 5.6.1.1

Faktorisiere $- u^{29}$ aus $- {(- 35)}^{30} u^{30}$ heraus.

$- u^{29} ({(- 35)}^{30} u) + 13^{30} u^{29} = 0$

Schritt 5.6.1.2

Faktorisiere $- u^{29}$ aus $13^{30} u^{29}$ heraus.

$- u^{29} ({(- 35)}^{30} u) - u^{29} (- 13^{30}) = 0$

Schritt 5.6.1.3

Faktorisiere $- u^{29}$ aus $- u^{29} ({(- 35)}^{30} u) - u^{29} (- 13^{30})$ heraus.

$- u^{29} ({(- 35)}^{30} u - 13^{30}) = 0$

Schritt 5.6.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$u^{29} = 0$

${(- 35)}^{30} u - 13^{30} = 0$

Schritt 5.6.3

Setze $u^{29}$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 5.6.3.1

Setze $u^{29}$ gleich $0$ .

$u^{29} = 0$

Schritt 5.6.3.2

Löse $u^{29} = 0$ nach $u$ auf.

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Schritt 5.6.3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$u = \sqrt[29]{0}$

Schritt 5.6.3.2.2

Vereinfache $\sqrt[29]{0}$ .

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Schritt 5.6.3.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{29}$ um.

$u = \sqrt[29]{0^{29}}$

Schritt 5.6.3.2.2.2

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$u = 0$

Schritt 5.6.4

Setze ${(- 35)}^{30} u - 13^{30}$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 5.6.4.1

Setze ${(- 35)}^{30} u - 13^{30}$ gleich $0$ .

${(- 35)}^{30} u - 13^{30} = 0$

Schritt 5.6.4.2

Löse ${(- 35)}^{30} u - 13^{30} = 0$ nach $u$ auf.

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Schritt 5.6.4.2.1

Addiere $13^{30}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

${(- 35)}^{30} u = 13^{30}$

Schritt 5.6.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in ${(- 35)}^{30} u = 13^{30}$ durch ${(- 35)}^{30}$ und vereinfache.

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Schritt 5.6.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in ${(- 35)}^{30} u = 13^{30}$ durch ${(- 35)}^{30}$ .

$\frac{{(- 35)}^{30} u}{{(- 35)}^{30}} = \frac{13^{30}}{{(- 35)}^{30}}$

Schritt 5.6.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.6.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(- 35)}^{30}$ .

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Schritt 5.6.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{(- 35)}^{30} u}{{(- 35)}^{30}} = \frac{13^{30}}{{(- 35)}^{30}}$

Schritt 5.6.4.2.2.2.1.2

Dividiere $u$ durch $1$ .

$u = \frac{13^{30}}{{(- 35)}^{30}}$

Schritt 5.6.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- u^{29} ({(- 35)}^{30} u - 13^{30}) = 0$ wahr machen.

$u = 0, \frac{13^{30}}{{(- 35)}^{30}}$

Schritt 5.7

Setze $0$ für $u$ in $u = e^{t}$ ein.

$0 = e^{t}$

Schritt 5.8

Löse $0 = e^{t}$ .

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Schritt 5.8.1

Schreibe die Gleichung als $e^{t} = 0$ um.

$e^{t} = 0$

Schritt 5.8.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{t}) = \ln (0)$

Schritt 5.8.3

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (0)$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 5.8.4

Es gibt keine Lösung für $e^{t} = 0$

Keine Lösung

Schritt 5.9

Setze $\frac{13^{30}}{{(- 35)}^{30}}$ für $u$ in $u = e^{t}$ ein.

$\frac{13^{30}}{{(- 35)}^{30}} = e^{t}$

Schritt 5.10

Löse $\frac{13^{30}}{{(- 35)}^{30}} = e^{t}$ .

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Schritt 5.10.1

Schreibe die Gleichung als $e^{t} = \frac{13^{30}}{{(- 35)}^{30}}$ um.

$e^{t} = \frac{13^{30}}{{(- 35)}^{30}}$

Schritt 5.10.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{t}) = \ln (\frac{13^{30}}{{(- 35)}^{30}})$

Schritt 5.10.3

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 5.10.3.1

Zerlege $\ln (e^{t})$ durch Herausziehen von $t$ aus dem Logarithmus.

$t \ln (e) = \ln (\frac{13^{30}}{{(- 35)}^{30}})$

Schritt 5.10.3.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$t \cdot 1 = \ln (\frac{13^{30}}{{(- 35)}^{30}})$

Schritt 5.10.3.3

Mutltipliziere $t$ mit $1$ .

$t = \ln (\frac{13^{30}}{{(- 35)}^{30}})$

Schritt 6

Schließe die Lösungen aus, die $0 = \frac{35}{2} + \frac{13 \sqrt[30]{e^{29 t}}}{2 e^{t}}$ nicht erfüllen.

$Keine Lösung$