Analysis Beispiele

$\frac{3}{4} t^{- \frac{1}{4}} - \frac{1}{2} t^{- \frac{3}{4}} = 0$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{4}}} - \frac{1}{2} t^{- \frac{3}{4}} = 0$

Schritt 1.2

Kombinieren.

$\frac{3 \cdot 1}{4 t^{\frac{1}{4}}} - \frac{1}{2} t^{- \frac{3}{4}} = 0$

Schritt 1.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{3}{4 t^{\frac{1}{4}}} - \frac{1}{2} t^{- \frac{3}{4}} = 0$

Schritt 1.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3}{4 t^{\frac{1}{4}}} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{t^{\frac{3}{4}}} = 0$

Schritt 1.5

Mutltipliziere $\frac{1}{t^{\frac{3}{4}}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{4 t^{\frac{1}{4}}} - \frac{1}{t^{\frac{3}{4}} \cdot 2} = 0$

Schritt 1.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $t^{\frac{3}{4}}$ .

$\frac{3}{4 t^{\frac{1}{4}}} - \frac{1}{2 t^{\frac{3}{4}}} = 0$

Schritt 2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$4 t^{\frac{1}{4}}, 2 t^{\frac{3}{4}}, 1$

Schritt 2.2

Since $4 t^{\frac{1}{4}}, 2 t^{\frac{3}{4}}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $4, 2, 1$ then find LCM for the variable part $t^{\frac{1}{4}}, t^{\frac{3}{4}}$ .

Schritt 2.3

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 2.4

$4$ hat Faktoren von $2$ und $2$ .

$2 \cdot 2$

Schritt 2.5

Da $2$ keine Teiler außer $1$ und $2$ hat.

$2$ ist eine Primzahl

Schritt 2.6

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 2.7

Das kgV von $4, 2, 1$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.

$2 \cdot 2$

Schritt 2.8

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4$

Schritt 2.9

Das kgV von $t^{\frac{1}{4}}, t^{\frac{3}{4}}$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$t^{\frac{3}{4}}$

Schritt 2.10

Das kgV von $4 t^{\frac{1}{4}}, 2 t^{\frac{3}{4}}, 1$ ist der numerische Teil $4$ multipliziert mit dem variablen Teil.

$4 t^{\frac{3}{4}}$

Schritt 3

Multipliziere jeden Term in $\frac{3}{4 t^{\frac{1}{4}}} - \frac{1}{2 t^{\frac{3}{4}}} = 0$ mit $4 t^{\frac{3}{4}}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{3}{4 t^{\frac{1}{4}}} - \frac{1}{2 t^{\frac{3}{4}}} = 0$ mit $4 t^{\frac{3}{4}}$ .

$\frac{3}{4 t^{\frac{1}{4}}} (4 t^{\frac{3}{4}}) - \frac{1}{2 t^{\frac{3}{4}}} (4 t^{\frac{3}{4}}) = 0 (4 t^{\frac{3}{4}})$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$4 \frac{3}{4 t^{\frac{1}{4}}} t^{\frac{3}{4}} - \frac{1}{2 t^{\frac{3}{4}}} (4 t^{\frac{3}{4}}) = 0 (4 t^{\frac{3}{4}})$

Schritt 3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \frac{3}{4 t^{\frac{1}{4}}} t^{\frac{3}{4}} - \frac{1}{2 t^{\frac{3}{4}}} (4 t^{\frac{3}{4}}) = 0 (4 t^{\frac{3}{4}})$

Schritt 3.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{t^{\frac{1}{4}}} t^{\frac{3}{4}} - \frac{1}{2 t^{\frac{3}{4}}} (4 t^{\frac{3}{4}}) = 0 (4 t^{\frac{3}{4}})$

Schritt 3.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $t^{\frac{1}{4}}$ .

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Schritt 3.2.1.3.1

Faktorisiere $t^{\frac{1}{4}}$ aus $t^{\frac{3}{4}}$ heraus.

$\frac{3}{t^{\frac{1}{4}}} (t^{\frac{1}{4}} t^{\frac{2}{4}}) - \frac{1}{2 t^{\frac{3}{4}}} (4 t^{\frac{3}{4}}) = 0 (4 t^{\frac{3}{4}})$

Schritt 3.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{t^{\frac{1}{4}}} (t^{\frac{1}{4}} t^{\frac{2}{4}}) - \frac{1}{2 t^{\frac{3}{4}}} (4 t^{\frac{3}{4}}) = 0 (4 t^{\frac{3}{4}})$

Schritt 3.2.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$3 t^{\frac{2}{4}} - \frac{1}{2 t^{\frac{3}{4}}} (4 t^{\frac{3}{4}}) = 0 (4 t^{\frac{3}{4}})$

Schritt 3.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 3.2.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$3 t^{\frac{2 (1)}{4}} - \frac{1}{2 t^{\frac{3}{4}}} (4 t^{\frac{3}{4}}) = 0 (4 t^{\frac{3}{4}})$

Schritt 3.2.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.1.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$3 t^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} - \frac{1}{2 t^{\frac{3}{4}}} (4 t^{\frac{3}{4}}) = 0 (4 t^{\frac{3}{4}})$

Schritt 3.2.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 t^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} - \frac{1}{2 t^{\frac{3}{4}}} (4 t^{\frac{3}{4}}) = 0 (4 t^{\frac{3}{4}})$

Schritt 3.2.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$3 t^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2 t^{\frac{3}{4}}} (4 t^{\frac{3}{4}}) = 0 (4 t^{\frac{3}{4}})$

Schritt 3.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 t^{\frac{3}{4}}$ .

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Schritt 3.2.1.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2 t^{\frac{3}{4}}}$ in den Zähler.

$3 t^{\frac{1}{2}} + \frac{- 1}{2 t^{\frac{3}{4}}} (4 t^{\frac{3}{4}}) = 0 (4 t^{\frac{3}{4}})$

Schritt 3.2.1.5.2

Faktorisiere $2 t^{\frac{3}{4}}$ aus $4 t^{\frac{3}{4}}$ heraus.

$3 t^{\frac{1}{2}} + \frac{- 1}{2 t^{\frac{3}{4}}} (2 t^{\frac{3}{4}} (2)) = 0 (4 t^{\frac{3}{4}})$

Schritt 3.2.1.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 t^{\frac{1}{2}} + \frac{- 1}{2 t^{\frac{3}{4}}} (2 t^{\frac{3}{4}} \cdot 2) = 0 (4 t^{\frac{3}{4}})$

Schritt 3.2.1.5.4

Forme den Ausdruck um.

$3 t^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 2 = 0 (4 t^{\frac{3}{4}})$

Schritt 3.2.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$3 t^{\frac{1}{2}} - 2 = 0 (4 t^{\frac{3}{4}})$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Multipliziere $0 (4 t^{\frac{3}{4}})$ .

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Schritt 3.3.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$3 t^{\frac{1}{2}} - 2 = 0 t^{\frac{3}{4}}$

Schritt 3.3.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $t^{\frac{3}{4}}$ .

$3 t^{\frac{1}{2}} - 2 = 0$

Schritt 4

Löse die Gleichung.

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Schritt 4.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 t^{\frac{1}{2}} = 2$

Schritt 4.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $2$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(3 t^{\frac{1}{2}})}^{2} = 2^{2}$

Schritt 4.3

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.1.1

Vereinfache ${(3 t^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.3.1.1.1

Wende die Produktregel auf $3 t^{\frac{1}{2}}$ an.

$3^{2} {(t^{\frac{1}{2}})}^{2} = 2^{2}$

Schritt 4.3.1.1.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$9 {(t^{\frac{1}{2}})}^{2} = 2^{2}$

Schritt 4.3.1.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(t^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.3.1.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 t^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 2^{2}$

Schritt 4.3.1.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.1.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$9 t^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 2^{2}$

Schritt 4.3.1.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$9 t^{1} = 2^{2}$

Schritt 4.3.1.1.4

Vereinfache.

$9 t = 2^{2}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.2.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$9 t = 4$

Schritt 4.4

Teile jeden Ausdruck in $9 t = 4$ durch $9$ und vereinfache.

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Schritt 4.4.1

Teile jeden Ausdruck in $9 t = 4$ durch $9$ .

$\frac{9 t}{9} = \frac{4}{9}$

Schritt 4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 4.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9 t}{9} = \frac{4}{9}$

Schritt 4.4.2.1.2

Dividiere $t$ durch $1$ .

$t = \frac{4}{9}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$t = \frac{4}{9}$

Dezimalform:

$t = 0.\overline{4}$