Analysis Beispiele

$7 \cdot 3^{t} = 5 \cdot 2^{t}$

Schritt 1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (7 \cdot 3^{t}) = \ln (5 \cdot 2^{t})$

Schritt 2

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 2.1

Schreibe $\ln (7 \cdot 3^{t})$ als $\ln (7) + \ln (3^{t})$ um.

$\ln (7) + \ln (3^{t}) = \ln (5 \cdot 2^{t})$

Schritt 2.2

Zerlege $\ln (3^{t})$ durch Herausziehen von $t$ aus dem Logarithmus.

$\ln (7) + t \ln (3) = \ln (5 \cdot 2^{t})$

Schritt 3

Multipliziere die rechte Seite aus.

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Schritt 3.1

Schreibe $\ln (5 \cdot 2^{t})$ als $\ln (5) + \ln (2^{t})$ um.

$\ln (7) + t \ln (3) = \ln (5) + \ln (2^{t})$

Schritt 3.2

Zerlege $\ln (2^{t})$ durch Herausziehen von $t$ aus dem Logarithmus.

$\ln (7) + t \ln (3) = \ln (5) + t \ln (2)$

Schritt 4

Stelle $\ln (7)$ und $t \ln (3)$ um.

$t \ln (3) + \ln (7) = \ln (5) + t \ln (2)$

Schritt 5

Stelle $\ln (5)$ und $t \ln (2)$ um.

$t \ln (3) + \ln (7) = t \ln (2) + \ln (5)$

Schritt 6

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$t \ln (3) + \ln (7) - t \ln (2) - \ln (5) = 0$

Schritt 7

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$t \ln (3) - t \ln (2) + \ln (\frac{7}{5}) = 0$

Schritt 8

Subtrahiere $\ln (\frac{7}{5})$ von beiden Seiten der Gleichung.

$t \ln (3) - t \ln (2) = - \ln (\frac{7}{5})$

Schritt 9

Faktorisiere $t$ aus $t \ln (3) - t \ln (2)$ heraus.

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Schritt 9.1

Faktorisiere $t$ aus $t \ln (3)$ heraus.

$t (\ln (3)) - t \ln (2) = - \ln (\frac{7}{5})$

Schritt 9.2

Faktorisiere $t$ aus $- t \ln (2)$ heraus.

$t (\ln (3)) + t (- 1 \ln (2)) = - \ln (\frac{7}{5})$

Schritt 9.3

Faktorisiere $t$ aus $t (\ln (3)) + t (- 1 \ln (2))$ heraus.

$t (\ln (3) - 1 \ln (2)) = - \ln (\frac{7}{5})$

Schritt 10

Schreibe $- 1 \ln (2)$ als $- \ln (2)$ um.

$t (\ln (3) - \ln (2)) = - \ln (\frac{7}{5})$

Schritt 11

Teile jeden Ausdruck in $t (\ln (3) - \ln (2)) = - \ln (\frac{7}{5})$ durch $\ln (3) - \ln (2)$ und vereinfache.

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Schritt 11.1

Teile jeden Ausdruck in $t (\ln (3) - \ln (2)) = - \ln (\frac{7}{5})$ durch $\ln (3) - \ln (2)$ .

$\frac{t (\ln (3) - \ln (2))}{\ln (3) - \ln (2)} = \frac{- \ln (\frac{7}{5})}{\ln (3) - \ln (2)}$

Schritt 11.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 11.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (3) - \ln (2)$ .

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Schritt 11.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{t (\ln (3) - \ln (2))}{\ln (3) - \ln (2)} = \frac{- \ln (\frac{7}{5})}{\ln (3) - \ln (2)}$

Schritt 11.2.1.2

Dividiere $t$ durch $1$ .

$t = \frac{- \ln (\frac{7}{5})}{\ln (3) - \ln (2)}$

Schritt 11.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 11.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$t = - \frac{\ln (\frac{7}{5})}{\ln (3) - \ln (2)}$

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$t = - \frac{\ln (\frac{7}{5})}{\ln (3) - \ln (2)}$

Dezimalform:

$t = - 0.82984264 \dots$