Analysis Beispiele

$| \frac{1 - 2 x}{x} | = 3 x$

Schritt 1

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$\frac{1 - 2 x}{x} = \pm 3 x$

Schritt 2

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$\frac{1 - 2 x}{x} = 3 x$

Schritt 2.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x, 1$

Schritt 2.2.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x$

Schritt 2.3

Multipliziere jeden Term in $\frac{1 - 2 x}{x} = 3 x$ mit $x$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{1 - 2 x}{x} = 3 x$ mit $x$ .

$\frac{1 - 2 x}{x} x = 3 x \cdot x$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 - 2 x}{x} x = 3 x \cdot x$

Schritt 2.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$1 - 2 x = 3 x \cdot x$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.3.1.1

Bewege $x$ .

$1 - 2 x = 3 (x \cdot x)$

Schritt 2.3.3.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$1 - 2 x = 3 x^{2}$

Schritt 2.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.4.1

Subtrahiere $3 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$1 - 2 x - 3 x^{2} = 0$

Schritt 2.4.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.4.2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $1 - 2 x - 3 x^{2}$ heraus.

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Schritt 2.4.2.1.1

Stelle den Ausdruck um.

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Schritt 2.4.2.1.1.1

Bewege $1$ .

$- 2 x - 3 x^{2} + 1 = 0$

Schritt 2.4.2.1.1.2

Stelle $- 2 x$ und $- 3 x^{2}$ um.

$- 3 x^{2} - 2 x + 1 = 0$

Schritt 2.4.2.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 x^{2}$ heraus.

$- (3 x^{2}) - 2 x + 1 = 0$

Schritt 2.4.2.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x$ heraus.

$- (3 x^{2}) - (2 x) + 1 = 0$

Schritt 2.4.2.1.4

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$- (3 x^{2}) - (2 x) - 1 \cdot - 1 = 0$

Schritt 2.4.2.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 x^{2}) - (2 x)$ heraus.

$- (3 x^{2} + 2 x) - 1 \cdot - 1 = 0$

Schritt 2.4.2.1.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 x^{2} + 2 x) - 1 (- 1)$ heraus.

$- (3 x^{2} + 2 x - 1) = 0$

Schritt 2.4.2.2

Faktorisiere.

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Schritt 2.4.2.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.4.2.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot - 1 = - 3$ und deren Summe gleich $b = 2$ ist.

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Schritt 2.4.2.2.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$- (3 x^{2} + 2 (x) - 1) = 0$

Schritt 2.4.2.2.1.1.2

Schreibe $2$ um als $- 1$ plus $3$

$- (3 x^{2} + (- 1 + 3) x - 1) = 0$

Schritt 2.4.2.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- (3 x^{2} - 1 x + 3 x - 1) = 0$

Schritt 2.4.2.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.4.2.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$- ((3 x^{2} - 1 x) + 3 x - 1) = 0$

Schritt 2.4.2.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$- (x (3 x - 1) + 1 (3 x - 1)) = 0$

Schritt 2.4.2.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 x - 1$ .

$- ((3 x - 1) (x + 1)) = 0$

Schritt 2.4.2.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- (3 x - 1) (x + 1) = 0$

Schritt 2.4.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$3 x - 1 = 0$

$x + 1 = 0$

Schritt 2.4.4

Setze $3 x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.4.1

Setze $3 x - 1$ gleich $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Schritt 2.4.4.2

Löse $3 x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.4.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 1$

Schritt 2.4.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 1$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 1$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Schritt 2.4.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.4.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Schritt 2.4.4.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Schritt 2.4.5

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.5.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 2.4.5.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 2.4.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- (3 x - 1) (x + 1) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{1}{3}, - 1$

Schritt 2.5

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$\frac{1 - 2 x}{x} = - 3 x$

Schritt 2.6

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.6.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x, 1$

Schritt 2.6.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x$

Schritt 2.7

Multipliziere jeden Term in $\frac{1 - 2 x}{x} = - 3 x$ mit $x$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.7.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{1 - 2 x}{x} = - 3 x$ mit $x$ .

$\frac{1 - 2 x}{x} x = - 3 x \cdot x$

Schritt 2.7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 - 2 x}{x} x = - 3 x \cdot x$

Schritt 2.7.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$1 - 2 x = - 3 x \cdot x$

Schritt 2.7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.7.3.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.7.3.1.1

Bewege $x$ .

$1 - 2 x = - 3 (x \cdot x)$

Schritt 2.7.3.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$1 - 2 x = - 3 x^{2}$

Schritt 2.8

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.8.1

Addiere $3 x^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$1 - 2 x + 3 x^{2} = 0$

Schritt 2.8.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.8.3

Setze die Werte $a = 3$ , $b = - 2$ und $c = 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 1)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.8.4

Vereinfache.

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Schritt 2.8.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.8.4.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.8.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot 1$ .

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Schritt 2.8.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.8.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.8.4.1.3

Subtrahiere $12$ von $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 8}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.8.4.1.4

Schreibe $- 8$ als $- 1 (8)$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.8.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (8)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.8.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.8.4.1.7

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 2.8.4.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.8.4.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.8.4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.8.4.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.8.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{6}$

Schritt 2.8.4.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{6}$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{2}}{3}$

Schritt 2.8.5

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{1 + i \sqrt{2}}{3}, \frac{1 - i \sqrt{2}}{3}$

Schritt 2.9

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{1}{3}, - 1, \frac{1 + i \sqrt{2}}{3}, \frac{1 - i \sqrt{2}}{3}$