Analysis Beispiele

$\log (w) + \log (3 w - 13) = 1$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log (w (3 w - 13)) = 1$

Schritt 1.2

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\log (w (3 w) + w \cdot - 13) = 1$

Schritt 1.2.2

Stelle um.

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Schritt 1.2.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\log (3 w \cdot w + w \cdot - 13) = 1$

Schritt 1.2.2.2

Bringe $- 13$ auf die linke Seite von $w$ .

$\log (3 w \cdot w - 13 \cdot w) = 1$

Schritt 1.3

Multipliziere $w$ mit $w$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.1

Bewege $w$ .

$\log (3 (w \cdot w) - 13 \cdot w) = 1$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $w$ mit $w$ .

$\log (3 w^{2} - 13 \cdot w) = 1$

$\log (3 w^{2} - 13 w) = 1$

Schritt 2

Schreibe $\log (3 w^{2} - 13 w) = 1$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$10^{1} = 3 w^{2} - 13 w$

Schritt 3

Löse nach $w$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $3 w^{2} - 13 w = 10^{1}$ um.

$3 w^{2} - 13 w = 10$

Schritt 3.2

Subtrahiere $10$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 w^{2} - 13 w - 10 = 0$

Schritt 3.3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot - 10 = - 30$ und deren Summe gleich $b = - 13$ ist.

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Schritt 3.3.1.1

Faktorisiere $- 13$ aus $- 13 w$ heraus.

$3 w^{2} - 13 w - 10 = 0$

Schritt 3.3.1.2

Schreibe $- 13$ um als $2$ plus $- 15$

$3 w^{2} + (2 - 15) w - 10 = 0$

Schritt 3.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 w^{2} + 2 w - 15 w - 10 = 0$

Schritt 3.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(3 w^{2} + 2 w) - 15 w - 10 = 0$

Schritt 3.3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$w (3 w + 2) - 5 (3 w + 2) = 0$

Schritt 3.3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 w + 2$ .

$(3 w + 2) (w - 5) = 0$

Schritt 3.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$3 w + 2 = 0$

$w - 5 = 0$

Schritt 3.5

Setze $3 w + 2$ gleich $0$ und löse nach $w$ auf.

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Schritt 3.5.1

Setze $3 w + 2$ gleich $0$ .

$3 w + 2 = 0$

Schritt 3.5.2

Löse $3 w + 2 = 0$ nach $w$ auf.

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Schritt 3.5.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 w = - 2$

Schritt 3.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 w = - 2$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 w = - 2$ durch $3$ .

$\frac{3 w}{3} = \frac{- 2}{3}$

Schritt 3.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 w}{3} = \frac{- 2}{3}$

Schritt 3.5.2.2.2.1.2

Dividiere $w$ durch $1$ .

$w = \frac{- 2}{3}$

Schritt 3.5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$w = - \frac{2}{3}$

Schritt 3.6

Setze $w - 5$ gleich $0$ und löse nach $w$ auf.

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Schritt 3.6.1

Setze $w - 5$ gleich $0$ .

$w - 5 = 0$

Schritt 3.6.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$w = 5$

Schritt 3.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(3 w + 2) (w - 5) = 0$ wahr machen.

$w = - \frac{2}{3}, 5$

Schritt 4

Schließe die Lösungen aus, die $\log (w) + \log (3 w - 13) = 1$ nicht erfüllen.

$w = 5$