Analysis Beispiele

${(x^{2} - 2 x)}^{2} - 11 (x^{2} - 2 x) + 24 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Es sei $u = x^{2} - 2 x$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2} - 2 x$ .

$u^{2} - 11 u + 24 = 0$

Schritt 1.2

Faktorisiere $u^{2} - 11 u + 24$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $24$ und deren Summe $- 11$ ist.

$- 8, - 3$

Schritt 1.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 8) (u - 3) = 0$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} - 2 x$ .

$(x^{2} - 2 x - 8) (x^{2} - 2 x - 3) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{2} - 2 x - 8 = 0$

$x^{2} - 2 x - 3 = 0$

Schritt 3

Setze $x^{2} - 2 x - 8$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $x^{2} - 2 x - 8$ gleich $0$ .

$x^{2} - 2 x - 8 = 0$

Schritt 3.2

Löse $x^{2} - 2 x - 8 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $x^{2} - 2 x - 8$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 8$ und deren Summe $- 2$ ist.

$- 4, 2$

Schritt 3.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 4) (x + 2) = 0$

Schritt 3.2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 2 = 0$

Schritt 3.2.3

Setze $x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.3.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 3.2.3.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 3.2.4

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.4.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 3.2.4.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 3.2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 4) (x + 2) = 0$ wahr machen.

$x = 4, - 2$

Schritt 4

Setze $x^{2} - 2 x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $x^{2} - 2 x - 3$ gleich $0$ .

$x^{2} - 2 x - 3 = 0$

Schritt 4.2

Löse $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $x^{2} - 2 x - 3$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 4.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 3$ und deren Summe $- 2$ ist.

$- 3, 1$

Schritt 4.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 3) (x + 1) = 0$

Schritt 4.2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 1 = 0$

Schritt 4.2.3

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.3.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 4.2.3.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 4.2.4

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.4.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 4.2.4.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 4.2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 3) (x + 1) = 0$ wahr machen.

$x = 3, - 1$

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x^{2} - 2 x - 8) (x^{2} - 2 x - 3) = 0$ wahr machen.

$x = 4, - 2, 3, - 1$