Analysis Beispiele

${(\sin (π x) + \cos (π y))}^{2} = 2$

Schritt 1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (π x) + \cos (π y) = \pm \sqrt{2}$

Schritt 2

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$\sin (π x) + \cos (π y) = \sqrt{2}$

Schritt 2.2

Subtrahiere $\cos (π y)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sin (π x) = \sqrt{2} - \cos (π y)$

Schritt 2.3

Schreibe die Gleichung als $\sqrt{2} - \cos (π y) = \sin (π x)$ um.

$\sqrt{2} - \cos (π y) = \sin (π x)$

Schritt 2.4

Subtrahiere $\sqrt{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \cos (π y) = \sin (π x) - \sqrt{2}$

Schritt 2.5

Teile jeden Ausdruck in $- \cos (π y) = \sin (π x) - \sqrt{2}$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Teile jeden Ausdruck in $- \cos (π y) = \sin (π x) - \sqrt{2}$ durch $- 1$ .

$\frac{- \cos (π y)}{- 1} = \frac{\sin (π x)}{- 1} + \frac{- \sqrt{2}}{- 1}$

Schritt 2.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\cos (π y)}{1} = \frac{\sin (π x)}{- 1} + \frac{- \sqrt{2}}{- 1}$

Schritt 2.5.2.2

Dividiere $\cos (π y)$ durch $1$ .

$\cos (π y) = \frac{\sin (π x)}{- 1} + \frac{- \sqrt{2}}{- 1}$

Schritt 2.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\sin (π x)}{- 1}$ .

$\cos (π y) = - 1 \cdot \sin (π x) + \frac{- \sqrt{2}}{- 1}$

Schritt 2.5.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot \sin (π x)$ als $- \sin (π x)$ um.

$\cos (π y) = - \sin (π x) + \frac{- \sqrt{2}}{- 1}$

Schritt 2.5.3.1.3

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\cos (π y) = - \sin (π x) + \frac{\sqrt{2}}{1}$

Schritt 2.5.3.1.4

Dividiere $\sqrt{2}$ durch $1$ .

$\cos (π y) = - \sin (π x) + \sqrt{2}$

Schritt 2.6

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$π y = \arccos (- \sin (π x) + \sqrt{2})$

Schritt 2.7

Schreibe die Gleichung als $\arccos (- \sin (π x) + \sqrt{2}) = π y$ um.

$\arccos (- \sin (π x) + \sqrt{2}) = π y$

Schritt 2.8

Wende den inversen Arcuskosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $\sin (π x)$ aus dem Arcuskosinus herauszuziehen.

$- \sin (π x) + \sqrt{2} = \cos (π y)$

Schritt 2.9

Subtrahiere $\sqrt{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \sin (π x) = \cos (π y) - \sqrt{2}$

Schritt 2.10

Teile jeden Ausdruck in $- \sin (π x) = \cos (π y) - \sqrt{2}$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.10.1

Teile jeden Ausdruck in $- \sin (π x) = \cos (π y) - \sqrt{2}$ durch $- 1$ .

$\frac{- \sin (π x)}{- 1} = \frac{\cos (π y)}{- 1} + \frac{- \sqrt{2}}{- 1}$

Schritt 2.10.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.10.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\sin (π x)}{1} = \frac{\cos (π y)}{- 1} + \frac{- \sqrt{2}}{- 1}$

Schritt 2.10.2.2

Dividiere $\sin (π x)$ durch $1$ .

$\sin (π x) = \frac{\cos (π y)}{- 1} + \frac{- \sqrt{2}}{- 1}$

Schritt 2.10.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.10.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.10.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\cos (π y)}{- 1}$ .

$\sin (π x) = - 1 \cdot \cos (π y) + \frac{- \sqrt{2}}{- 1}$

Schritt 2.10.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot \cos (π y)$ als $- \cos (π y)$ um.

$\sin (π x) = - \cos (π y) + \frac{- \sqrt{2}}{- 1}$

Schritt 2.10.3.1.3

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\sin (π x) = - \cos (π y) + \frac{\sqrt{2}}{1}$

Schritt 2.10.3.1.4

Dividiere $\sqrt{2}$ durch $1$ .

$\sin (π x) = - \cos (π y) + \sqrt{2}$

Schritt 2.11

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$π x = \arcsin (- \cos (π y) + \sqrt{2})$

Schritt 2.12

Teile jeden Ausdruck in $π x = \arcsin (- \cos (π y) + \sqrt{2})$ durch $π$ und vereinfache.

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Schritt 2.12.1

Teile jeden Ausdruck in $π x = \arcsin (- \cos (π y) + \sqrt{2})$ durch $π$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{\arcsin (- \cos (π y) + \sqrt{2})}{π}$

Schritt 2.12.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.12.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 2.12.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{π x}{π} = \frac{\arcsin (- \cos (π y) + \sqrt{2})}{π}$

Schritt 2.12.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\arcsin (- \cos (π y) + \sqrt{2})}{π}$

Schritt 2.13

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$\sin (π x) + \cos (π y) = - \sqrt{2}$

Schritt 2.14

Subtrahiere $\cos (π y)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sin (π x) = - \sqrt{2} - \cos (π y)$

Schritt 2.15

Schreibe die Gleichung als $- \sqrt{2} - \cos (π y) = \sin (π x)$ um.

$- \sqrt{2} - \cos (π y) = \sin (π x)$

Schritt 2.16

Addiere $\sqrt{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- \cos (π y) = \sin (π x) + \sqrt{2}$

Schritt 2.17

Teile jeden Ausdruck in $- \cos (π y) = \sin (π x) + \sqrt{2}$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.17.1

Teile jeden Ausdruck in $- \cos (π y) = \sin (π x) + \sqrt{2}$ durch $- 1$ .

$\frac{- \cos (π y)}{- 1} = \frac{\sin (π x)}{- 1} + \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

Schritt 2.17.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.17.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\cos (π y)}{1} = \frac{\sin (π x)}{- 1} + \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

Schritt 2.17.2.2

Dividiere $\cos (π y)$ durch $1$ .

$\cos (π y) = \frac{\sin (π x)}{- 1} + \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

Schritt 2.17.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.17.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.17.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\sin (π x)}{- 1}$ .

$\cos (π y) = - 1 \cdot \sin (π x) + \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

Schritt 2.17.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot \sin (π x)$ als $- \sin (π x)$ um.

$\cos (π y) = - \sin (π x) + \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

Schritt 2.17.3.1.3

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\sqrt{2}}{- 1}$ .

$\cos (π y) = - \sin (π x) - 1 \cdot \sqrt{2}$

Schritt 2.17.3.1.4

Schreibe $- 1 \cdot \sqrt{2}$ als $- \sqrt{2}$ um.

$\cos (π y) = - \sin (π x) - \sqrt{2}$

Schritt 2.18

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$π y = \arccos (- \sin (π x) - \sqrt{2})$

Schritt 2.19

Schreibe die Gleichung als $\arccos (- \sin (π x) - \sqrt{2}) = π y$ um.

$\arccos (- \sin (π x) - \sqrt{2}) = π y$

Schritt 2.20

Wende den inversen Arcuskosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $\sin (π x)$ aus dem Arcuskosinus herauszuziehen.

$- \sin (π x) - \sqrt{2} = \cos (π y)$

Schritt 2.21

Addiere $\sqrt{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- \sin (π x) = \cos (π y) + \sqrt{2}$

Schritt 2.22

Teile jeden Ausdruck in $- \sin (π x) = \cos (π y) + \sqrt{2}$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.22.1

Teile jeden Ausdruck in $- \sin (π x) = \cos (π y) + \sqrt{2}$ durch $- 1$ .

$\frac{- \sin (π x)}{- 1} = \frac{\cos (π y)}{- 1} + \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

Schritt 2.22.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.22.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\sin (π x)}{1} = \frac{\cos (π y)}{- 1} + \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

Schritt 2.22.2.2

Dividiere $\sin (π x)$ durch $1$ .

$\sin (π x) = \frac{\cos (π y)}{- 1} + \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

Schritt 2.22.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.22.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.22.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\cos (π y)}{- 1}$ .

$\sin (π x) = - 1 \cdot \cos (π y) + \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

Schritt 2.22.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot \cos (π y)$ als $- \cos (π y)$ um.

$\sin (π x) = - \cos (π y) + \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

Schritt 2.22.3.1.3

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\sqrt{2}}{- 1}$ .

$\sin (π x) = - \cos (π y) - 1 \cdot \sqrt{2}$

Schritt 2.22.3.1.4

Schreibe $- 1 \cdot \sqrt{2}$ als $- \sqrt{2}$ um.

$\sin (π x) = - \cos (π y) - \sqrt{2}$

Schritt 2.23

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$π x = \arcsin (- \cos (π y) - \sqrt{2})$

Schritt 2.24

Teile jeden Ausdruck in $π x = \arcsin (- \cos (π y) - \sqrt{2})$ durch $π$ und vereinfache.

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Schritt 2.24.1

Teile jeden Ausdruck in $π x = \arcsin (- \cos (π y) - \sqrt{2})$ durch $π$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{\arcsin (- \cos (π y) - \sqrt{2})}{π}$

Schritt 2.24.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.24.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 2.24.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{π x}{π} = \frac{\arcsin (- \cos (π y) - \sqrt{2})}{π}$

Schritt 2.24.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\arcsin (- \cos (π y) - \sqrt{2})}{π}$

Schritt 2.25

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{\arcsin (- \cos (π y) + \sqrt{2})}{π}$

$x = \frac{\arcsin (- \cos (π y) - \sqrt{2})}{π}$

$x = \frac{\arcsin (- \cos (π y) + \sqrt{2})}{π}$

$x = \frac{\arcsin (- \cos (π y) - \sqrt{2})}{π}$