Analysis Beispiele

$10^{2 x} - 2 \cdot 10^{x} - 15 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Schreibe $10^{2 x}$ als ${(10^{x})}^{2}$ um.

${(10^{x})}^{2} - 2 \cdot 10^{x} - 15 = 0$

Schritt 1.2

Es sei $u = 10^{x}$ . Ersetze $u$ für alle $10^{x}$ .

$u^{2} - 2 u - 15 = 0$

Schritt 1.3

Faktorisiere $u^{2} - 2 u - 15$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 15$ und deren Summe $- 2$ ist.

$- 5, 3$

Schritt 1.3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 5) (u + 3) = 0$

Schritt 1.4

Ersetze alle $u$ durch $10^{x}$ .

$(10^{x} - 5) (10^{x} + 3) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$10^{x} - 5 = 0$

$10^{x} + 3 = 0$

Schritt 3

Setze $10^{x} - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $10^{x} - 5$ gleich $0$ .

$10^{x} - 5 = 0$

Schritt 3.2

Löse $10^{x} - 5 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$10^{x} = 5$

Schritt 3.2.2

Wende auf beiden Seiten der Gleichung den logarithmische Basis $10$ an, um die Variable aus dem Exponenten zu eliminieren.

$\log (10^{x}) = \log (5)$

Schritt 3.2.3

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 3.2.3.1

Zerlege $\log (10^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \log (10) = \log (5)$

Schritt 3.2.3.2

Die logarithmische Basis $10$ von $10$ ist $1$ .

$x \cdot 1 = \log (5)$

Schritt 3.2.3.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x = \log (5)$

Schritt 4

Setze $10^{x} + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $10^{x} + 3$ gleich $0$ .

$10^{x} + 3 = 0$

Schritt 4.2

Löse $10^{x} + 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$10^{x} = - 3$

Schritt 4.2.2

Wende auf beiden Seiten der Gleichung den logarithmische Basis $10$ an, um die Variable aus dem Exponenten zu eliminieren.

$\log (10^{x}) = \log (- 3)$

Schritt 4.2.3

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\log (- 3)$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 4.2.4

Es gibt keine Lösung für $10^{x} = - 3$

Keine Lösung

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(10^{x} - 5) (10^{x} + 3) = 0$ wahr machen.

$x = \log (5)$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \log (5)$

Dezimalform:

$x = 0.69897000 \dots$