Analysis Beispiele

$3^{2 x} - 3^{x + 2} + 8 = 0$

Schritt 1

Schreibe $3^{x + 2}$ als $3^{x} \cdot 3^{2}$ um.

$3^{2 x} - (3^{x} \cdot 3^{2}) + 8 = 0$

Schritt 2

Schreibe $3^{2 x}$ als Potenz um.

${(3^{x})}^{2} - (3^{x} \cdot 3^{2}) + 8 = 0$

Schritt 3

Entferne die Klammern.

${(3^{x})}^{2} - 3^{x} \cdot 3^{2} + 8 = 0$

Schritt 4

Ersetze $3^{x}$ durch $u$ .

$u^{2} - u \cdot 3^{2} + 8 = 0$

Schritt 5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$u^{2} - u \cdot 9 + 8 = 0$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $9$ mit $- 1$ .

$u^{2} - 9 u + 8 = 0$

Schritt 6

Löse nach $u$ auf.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $u^{2} - 9 u + 8$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 6.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $8$ und deren Summe $- 9$ ist.

$- 8, - 1$

Schritt 6.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 8) (u - 1) = 0$

Schritt 6.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$u - 8 = 0$

$u - 1 = 0$

Schritt 6.3

Setze $u - 8$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 6.3.1

Setze $u - 8$ gleich $0$ .

$u - 8 = 0$

Schritt 6.3.2

Addiere $8$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 8$

Schritt 6.4

Setze $u - 1$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 6.4.1

Setze $u - 1$ gleich $0$ .

$u - 1 = 0$

Schritt 6.4.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 1$

Schritt 6.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(u - 8) (u - 1) = 0$ wahr machen.

$u = 8, 1$

Schritt 7

Setze $8$ für $u$ in $u = 3^{x}$ ein.

$8 = 3^{x}$

Schritt 8

Löse $8 = 3^{x}$ .

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Schritt 8.1

Schreibe die Gleichung als $3^{x} = 8$ um.

$3^{x} = 8$

Schritt 8.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (3^{x}) = \ln (8)$

Schritt 8.3

Zerlege $\ln (3^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (3) = \ln (8)$

Schritt 8.4

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (3) = \ln (8)$ durch $\ln (3)$ und vereinfache.

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Schritt 8.4.1

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (3) = \ln (8)$ durch $\ln (3)$ .

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (8)}{\ln (3)}$

Schritt 8.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (3)$ .

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Schritt 8.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (8)}{\ln (3)}$

Schritt 8.4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\ln (8)}{\ln (3)}$

Schritt 9

Setze $1$ für $u$ in $u = 3^{x}$ ein.

$1 = 3^{x}$

Schritt 10

Löse $1 = 3^{x}$ .

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Schritt 10.1

Schreibe die Gleichung als $3^{x} = 1$ um.

$3^{x} = 1$

Schritt 10.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (3^{x}) = \ln (1)$

Schritt 10.3

Zerlege $\ln (3^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (3) = \ln (1)$

Schritt 10.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 10.4.1

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$x \ln (3) = 0$

Schritt 10.5

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (3) = 0$ durch $\ln (3)$ und vereinfache.

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Schritt 10.5.1

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (3) = 0$ durch $\ln (3)$ .

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{0}{\ln (3)}$

Schritt 10.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 10.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (3)$ .

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Schritt 10.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{0}{\ln (3)}$

Schritt 10.5.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{\ln (3)}$

Schritt 10.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 10.5.3.1

Dividiere $0$ durch $\ln (3)$ .

$x = 0$

Schritt 11

Liste die Lösungen auf, die die Gleichung erfüllen.

$x = \frac{\ln (8)}{\ln (3)}, 0$

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{\ln (8)}{\ln (3)}, 0$

Dezimalform:

$x = 1.89278926 \dots, 0$