Analysis Beispiele

$5^{2 x} - 10 \cdot 5^{x} + 25 = 0$

Schritt 1

Schreibe $5^{2 x}$ als Potenz um.

${(5^{x})}^{2} - 10 \cdot 5^{x} + 25 = 0$

Schritt 2

Ersetze $5^{x}$ durch $u$ .

$u^{2} - 10 u + 25 = 0$

Schritt 3

Löse nach $u$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$u^{2} - 10 u + 5^{2} = 0$

Schritt 3.1.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$10 u = 2 \cdot u \cdot 5$

Schritt 3.1.3

Schreibe das Polynom neu.

$u^{2} - 2 \cdot u \cdot 5 + 5^{2} = 0$

Schritt 3.1.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = u$ und $b = 5$ .

${(u - 5)}^{2} = 0$

Schritt 3.2

Setze $u - 5$ gleich $0$ .

$u - 5 = 0$

Schritt 3.3

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 5$

Schritt 4

Setze $5$ für $u$ in $u = 5^{x}$ ein.

$5 = 5^{x}$

Schritt 5

Löse $5 = 5^{x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $5^{x} = 5$ um.

$5^{x} = 5$

Schritt 5.2

Erzeuge äquivalente Ausdrücke in der Gleichung, die alle gleiche Basen haben.

$5^{x} = 5^{1}$

Schritt 5.3

Da die Basen gleich sind, sind zwei Ausdrücke nur dann gleich, wenn die Exponenten auch gleich sind.

$x = 1$