Analysis Beispiele

$\frac{x - 1}{x + 2} = \frac{2 x - 6}{x}$

Schritt 1

Faktorisiere $2$ aus $2 x - 6$ heraus.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{x - 1}{x + 2} = \frac{2 (x) - 6}{x}$

Schritt 1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 6$ heraus.

$\frac{x - 1}{x + 2} = \frac{2 x + 2 \cdot - 3}{x}$

Schritt 1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x + 2 \cdot - 3$ heraus.

$\frac{x - 1}{x + 2} = \frac{2 (x - 3)}{x}$

Schritt 2

Multipliziere den Zähler des ersten Bruchs mit dem Nenner des zweiten Bruchs. Setze dies gleich dem Produkt aus dem Nenner des ersten Bruchs und dem Zähler des zweiten Bruchs.

$(x - 1) x = (x + 2) (2 (x - 3))$

Schritt 3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Vereinfache $(x - 1) x$ .

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Schritt 3.1.1

Forme um.

$0 + 0 + (x - 1) x = (x + 2) \cdot (2 (x - 3))$

Schritt 3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$(x - 1) x = (x + 2) \cdot (2 (x - 3))$

Schritt 3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x - 1 x = (x + 2) \cdot (2 (x - 3))$

Schritt 3.1.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.1.4.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} - 1 x = (x + 2) \cdot (2 (x - 3))$

Schritt 3.1.4.2

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$x^{2} - x = (x + 2) \cdot (2 (x - 3))$

Schritt 3.2

Vereinfache $(x + 2) \cdot (2 (x - 3))$ .

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Schritt 3.2.1

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 3.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} - x = (x + 2) \cdot (2 x + 2 \cdot - 3)$

Schritt 3.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$x^{2} - x = (x + 2) \cdot (2 x - 6)$

Schritt 3.2.2

Multipliziere $(x + 2) (2 x - 6)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} - x = x (2 x - 6) + 2 (2 x - 6)$

Schritt 3.2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} - x = x (2 x) + x \cdot - 6 + 2 (2 x - 6)$

Schritt 3.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} - x = x (2 x) + x \cdot - 6 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 6$

Schritt 3.2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{2} - x = 2 x \cdot x + x \cdot - 6 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 6$

Schritt 3.2.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$x^{2} - x = 2 (x \cdot x) + x \cdot - 6 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 6$

Schritt 3.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} - x = 2 x^{2} + x \cdot - 6 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 6$

Schritt 3.2.3.1.3

Bringe $- 6$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{2} - x = 2 x^{2} - 6 \cdot x + 2 (2 x) + 2 \cdot - 6$

Schritt 3.2.3.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x^{2} - x = 2 x^{2} - 6 x + 4 x + 2 \cdot - 6$

Schritt 3.2.3.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 6$ .

$x^{2} - x = 2 x^{2} - 6 x + 4 x - 12$

Schritt 3.2.3.2

Addiere $- 6 x$ und $4 x$ .

$x^{2} - x = 2 x^{2} - 2 x - 12$

Schritt 3.3

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Subtrahiere $2 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - x - 2 x^{2} = - 2 x - 12$

Schritt 3.3.2

Addiere $2 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - x - 2 x^{2} + 2 x = - 12$

Schritt 3.3.3

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$- x^{2} - x + 2 x = - 12$

Schritt 3.3.4

Addiere $- x$ und $2 x$ .

$- x^{2} + x = - 12$

Schritt 3.4

Addiere $12$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- x^{2} + x + 12 = 0$

Schritt 3.5

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.5.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2} + x + 12$ heraus.

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Schritt 3.5.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2}$ heraus.

$- (x^{2}) + x + 12 = 0$

Schritt 3.5.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $x$ heraus.

$- (x^{2}) - 1 (- x) + 12 = 0$

Schritt 3.5.1.3

Schreibe $12$ als $- 1 (- 12)$ um.

$- (x^{2}) - 1 (- x) - 1 \cdot - 12 = 0$

Schritt 3.5.1.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2}) - 1 (- x)$ heraus.

$- (x^{2} - x) - 1 \cdot - 12 = 0$

Schritt 3.5.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2} - x) - 1 (- 12)$ heraus.

$- (x^{2} - x - 12) = 0$

Schritt 3.5.2

Faktorisiere.

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Schritt 3.5.2.1

Faktorisiere $x^{2} - x - 12$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.5.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 12$ und deren Summe $- 1$ ist.

$- 4, 3$

Schritt 3.5.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$- ((x - 4) (x + 3)) = 0$

Schritt 3.5.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- (x - 4) (x + 3) = 0$

Schritt 3.6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 3 = 0$

Schritt 3.7

Setze $x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.7.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 3.7.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 3.8

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.8.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 3.8.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 3.9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- (x - 4) (x + 3) = 0$ wahr machen.

$x = 4, - 3$