Analysis Beispiele

$x^{3} - 8 x - 3 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere $x^{3} - 8 x - 3$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 3$

$q = \pm 1$

Schritt 1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 3$

Schritt 1.3

Setze $3$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $3$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 1.3.1

Setze $3$ in das Polynom ein.

$3^{3} - 8 \cdot 3 - 3$

Schritt 1.3.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$27 - 8 \cdot 3 - 3$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $- 8$ mit $3$ .

$27 - 24 - 3$

Schritt 1.3.4

Subtrahiere $24$ von $27$ .

$3 - 3$

Schritt 1.3.5

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$0$

Schritt 1.4

Da $3$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x - 3$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{3} - 8 x - 3}{x - 3}$

Schritt 1.5

Dividiere $x^{3} - 8 x - 3$ durch $x - 3$ .

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Schritt 1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$3$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$3$

Schritt 1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$8 x$	-	$3$

Schritt 1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$8 x$	-	$3$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Schritt 1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{3} - 3 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$8 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Schritt 1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$8 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$

Schritt 1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$8 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$8 x$

Schritt 1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $3 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$8 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$8 x$

Schritt 1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$8 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$8 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$9 x$

Schritt 1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $3 x^{2} - 9 x$

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$8 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$8 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$9 x$

Schritt 1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$8 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$8 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$x$

Schritt 1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$8 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$8 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$x$	-	$3$

Schritt 1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$3 x$	+	$1$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$8 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$8 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$x$	-	$3$

Schritt 1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	+	$3 x$	+	$1$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$8 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$8 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$x$	-	$3$
							+	$x$	-	$3$

Schritt 1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x - 3$

				$x^{2}$	+	$3 x$	+	$1$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$8 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$8 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$x$	-	$3$
							-	$x$	+	$3$

Schritt 1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	+	$3 x$	+	$1$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$8 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$8 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$x$	-	$3$
							-	$x$	+	$3$
										$0$

Schritt 1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{2} + 3 x + 1$

Schritt 1.6

Schreibe $x^{3} - 8 x - 3$ als eine Menge von Faktoren.

$(x - 3) (x^{2} + 3 x + 1) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

$x^{2} + 3 x + 1 = 0$

Schritt 3

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 3.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 4

Setze $x^{2} + 3 x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $x^{2} + 3 x + 1$ gleich $0$ .

$x^{2} + 3 x + 1 = 0$

Schritt 4.2

Löse $x^{2} + 3 x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 3$ und $c = 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache.

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Schritt 4.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.3.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Schritt 4.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3.1.3

Subtrahiere $4$ von $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{5}}{2}$

Schritt 4.2.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{3 - \sqrt{5}}{2}, - \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 3) (x^{2} + 3 x + 1) = 0$ wahr machen.

$x = 3, - \frac{3 - \sqrt{5}}{2}, - \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = 3, - \frac{3 - \sqrt{5}}{2}, - \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

Dezimalform:

$x = 3, - 0.38196601 \dots, - 2.61803398 \dots$