Analysis Beispiele

$x^{2} - x = \log_{5} (25)$

Schritt 1

Die logarithmische Basis $5$ von $25$ ist $2$ .

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Schritt 1.1

Schreibe zu einer Gleichung um.

$x^{2} - x = \log_{5} (25) = x$

Schritt 1.2

Schreibe $\log_{5} (25) = x$ mithilfe der Definition eines Logarithmus in Exponentialform um. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b$ nicht gleich $1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ äquivalent zu $b^{y} = x$ .

$x^{2} - x = 5^{x} = 25$

Schritt 1.3

Erzeuge äquivalente Ausdrücke in der Gleichung, die alle gleiche Basen haben.

$x^{2} - x = 5^{x} = 5^{2}$

Schritt 1.4

Da die Basen gleich sind, sind die zwei Ausdrücke nur dann gleich, wenn die Exponenten auch gleich sind.

$x^{2} - x = x = 2$

Schritt 1.5

Die Variable $x$ ist gleich $2$ .

$x^{2} - x = 2$

Schritt 2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - x - 2 = 0$

Schritt 3

Faktorisiere $x^{2} - x - 2$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 2$ und deren Summe $- 1$ ist.

$- 2, 1$

Schritt 3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 2) (x + 1) = 0$

Schritt 4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 1 = 0$

Schritt 5

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 5.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 6

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 6.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 2) (x + 1) = 0$ wahr machen.

$x = 2, - 1$