Analysis Beispiele

$x^{2} e^{2 x} + 2 x e^{2 x} = 8 e^{2 x}$

Schritt 1

Subtrahiere $8 e^{2 x}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} e^{2 x} + 2 x e^{2 x} - 8 e^{2 x} = 0$

Schritt 2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $e^{2 x}$ aus $x^{2} e^{2 x} + 2 x e^{2 x} - 8 e^{2 x}$ heraus.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $e^{2 x}$ aus $x^{2} e^{2 x}$ heraus.

$e^{2 x} x^{2} + 2 x e^{2 x} - 8 e^{2 x} = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $e^{2 x}$ aus $2 x e^{2 x}$ heraus.

$e^{2 x} x^{2} + e^{2 x} (2 x) - 8 e^{2 x} = 0$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $e^{2 x}$ aus $- 8 e^{2 x}$ heraus.

$e^{2 x} x^{2} + e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot - 8 = 0$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere $e^{2 x}$ aus $e^{2 x} x^{2} + e^{2 x} (2 x)$ heraus.

$e^{2 x} (x^{2} + 2 x) + e^{2 x} \cdot - 8 = 0$

Schritt 2.1.5

Faktorisiere $e^{2 x}$ aus $e^{2 x} (x^{2} + 2 x) + e^{2 x} \cdot - 8$ heraus.

$e^{2 x} (x^{2} + 2 x - 8) = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $x^{2} + 2 x - 8$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 8$ und deren Summe $2$ ist.

$- 2, 4$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$e^{2 x} ((x - 2) (x + 4)) = 0$

Schritt 2.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$e^{2 x} (x - 2) (x + 4) = 0$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$e^{2 x} = 0$

$x - 2 = 0$

$x + 4 = 0$

Schritt 4

Setze $e^{2 x}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $e^{2 x}$ gleich $0$ .

$e^{2 x} = 0$

Schritt 4.2

Löse $e^{2 x} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{2 x}) = \ln (0)$

Schritt 4.2.2

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (0)$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 4.2.3

Es gibt keine Lösung für $e^{2 x} = 0$

Keine Lösung

Schritt 5

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 5.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 6

Setze $x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $x + 4$ gleich $0$ .

$x + 4 = 0$

Schritt 6.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

Schritt 7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $e^{2 x} (x - 2) (x + 4) = 0$ wahr machen.

$x = 2, - 4$