Analysis Beispiele

$e^{\ln (x) - 3 \ln (x)} = \frac{5}{2}$

Schritt 1

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.1

Vereinfache $e^{\ln (x) - 3 \ln (x)}$ .

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Schritt 1.1.1

Vereinfache $- 3 \ln (x)$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$e^{\ln (x) - \ln (x^{3})} = \frac{5}{2}$

Schritt 1.1.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$e^{\ln (\frac{x}{x^{3}})} = \frac{5}{2}$

Schritt 1.1.3

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$\frac{x}{x^{3}} = \frac{5}{2}$

Schritt 1.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{3}$ .

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Schritt 1.1.4.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{1}}{x^{3}} = \frac{5}{2}$

Schritt 1.1.4.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{x \cdot 1}{x^{3}} = \frac{5}{2}$

Schritt 1.1.4.3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.4.3.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{2}} = \frac{5}{2}$

Schritt 1.1.4.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{2}} = \frac{5}{2}$

Schritt 1.1.4.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{x^{2}} = \frac{5}{2}$

Schritt 1.2

Multipliziere den Zähler des ersten Bruchs mit dem Nenner des zweiten Bruchs. Setze dies gleich dem Produkt aus dem Nenner des ersten Bruchs und dem Zähler des zweiten Bruchs.

$1 \cdot 2 = x^{2} \cdot 5$

Schritt 1.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 1.3.1

Schreibe die Gleichung als $x^{2} \cdot 5 = 1 \cdot 2$ um.

$x^{2} \cdot 5 = 1 \cdot 2$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x^{2} \cdot 5 = 2$

Schritt 1.3.3

Teile jeden Ausdruck in $x^{2} \cdot 5 = 2$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 1.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $x^{2} \cdot 5 = 2$ durch $5$ .

$\frac{x^{2} \cdot 5}{5} = \frac{2}{5}$

Schritt 1.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 1.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} \cdot 5}{5} = \frac{2}{5}$

Schritt 1.3.3.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{2}{5}$

Schritt 1.3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{2}{5}}$

Schritt 1.3.5

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{2}{5}}$ .

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Schritt 1.3.5.1

Schreibe $\sqrt{\frac{2}{5}}$ als $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$

Schritt 1.3.5.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Schritt 1.3.5.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.3.5.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Schritt 1.3.5.3.2

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Schritt 1.3.5.3.3

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Schritt 1.3.5.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Schritt 1.3.5.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Schritt 1.3.5.3.6

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 1.3.5.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 1.3.5.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 1.3.5.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.3.5.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.3.5.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.3.5.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{1}}$

Schritt 1.3.5.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5}$

Schritt 1.3.5.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.5.4.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 \cdot 5}}{5}$

Schritt 1.3.5.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{10}}{5}$

Schritt 1.3.6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.3.6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{\sqrt{10}}{5}$

Schritt 1.3.6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{\sqrt{10}}{5}$

Schritt 1.3.6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{\sqrt{10}}{5}, - \frac{\sqrt{10}}{5}$

Schritt 2

Schließe die Lösungen aus, die $e^{\ln (x) - 3 \ln (x)} = \frac{5}{2}$ nicht erfüllen.

$x = \frac{\sqrt{10}}{5}$

Schritt 3

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{\sqrt{10}}{5}$

Dezimalform:

$x = 0.63245553 \dots$