Analysis Beispiele

$\log_{2} (x + 4) + \log_{2} (x - 4) = 1$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{2} ((x + 4) (x - 4)) = 1$

Schritt 1.2

Multipliziere $(x + 4) (x - 4)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\log_{2} (x (x - 4) + 4 (x - 4)) = 1$

Schritt 1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\log_{2} (x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 (x - 4)) = 1$

Schritt 1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\log_{2} (x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 x + 4 \cdot - 4) = 1$

Schritt 1.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.3.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 x + 4 \cdot - 4$ .

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Schritt 1.3.1.1

Ordne die Faktoren in den Termen $x \cdot - 4$ und $4 x$ neu an.

$\log_{2} (x \cdot x - 4 x + 4 x + 4 \cdot - 4) = 1$

Schritt 1.3.1.2

Addiere $- 4 x$ und $4 x$ .

$\log_{2} (x \cdot x + 0 + 4 \cdot - 4) = 1$

Schritt 1.3.1.3

Addiere $x \cdot x$ und $0$ .

$\log_{2} (x \cdot x + 4 \cdot - 4) = 1$

Schritt 1.3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\log_{2} (x^{2} + 4 \cdot - 4) = 1$

Schritt 1.3.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 4$ .

$\log_{2} (x^{2} - 16) = 1$

Schritt 2

Schreibe $\log_{2} (x^{2} - 16) = 1$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$2^{1} = x^{2} - 16$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $x^{2} - 16 = 2^{1}$ um.

$x^{2} - 16 = 2$

Schritt 3.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Addiere $16$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 2 + 16$

Schritt 3.2.2

Addiere $2$ und $16$ .

$x^{2} = 18$

Schritt 3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{18}$

Schritt 3.4

Vereinfache $\pm \sqrt{18}$ .

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Schritt 3.4.1

Schreibe $18$ als $3^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 3.4.1.1

Faktorisiere $9$ aus $18$ heraus.

$x = \pm \sqrt{9 (2)}$

Schritt 3.4.1.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{3^{2} \cdot 2}$

Schritt 3.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \pm 3 \sqrt{2}$

Schritt 3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 3 \sqrt{2}$

Schritt 3.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 3 \sqrt{2}$

Schritt 3.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 3 \sqrt{2}, - 3 \sqrt{2}$

Schritt 4

Schließe die Lösungen aus, die $\log_{2} (x + 4) + \log_{2} (x - 4) = 1$ nicht erfüllen.

$x = 3 \sqrt{2}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = 3 \sqrt{2}$

Dezimalform:

$x = 4.24264068 \dots$