Analysis Beispiele

$\log_{2} (x + 2) + \log_{2} (x - 5) = 3$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{2} ((x + 2) (x - 5)) = 3$

Schritt 1.2

Multipliziere $(x + 2) (x - 5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\log_{2} (x (x - 5) + 2 (x - 5)) = 3$

Schritt 1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\log_{2} (x \cdot x + x \cdot - 5 + 2 (x - 5)) = 3$

Schritt 1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\log_{2} (x \cdot x + x \cdot - 5 + 2 x + 2 \cdot - 5) = 3$

Schritt 1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\log_{2} (x^{2} + x \cdot - 5 + 2 x + 2 \cdot - 5) = 3$

Schritt 1.3.1.2

Bringe $- 5$ auf die linke Seite von $x$ .

$\log_{2} (x^{2} - 5 \cdot x + 2 x + 2 \cdot - 5) = 3$

Schritt 1.3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 5$ .

$\log_{2} (x^{2} - 5 x + 2 x - 10) = 3$

Schritt 1.3.2

Addiere $- 5 x$ und $2 x$ .

$\log_{2} (x^{2} - 3 x - 10) = 3$

Schritt 2

Schreibe $\log_{2} (x^{2} - 3 x - 10) = 3$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$2^{3} = x^{2} - 3 x - 10$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $x^{2} - 3 x - 10 = 2^{3}$ um.

$x^{2} - 3 x - 10 = 2^{3}$

Schritt 3.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$x^{2} - 3 x - 10 = 8$

Schritt 3.3

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 3 x - 10 - 8 = 0$

Schritt 3.4

Subtrahiere $8$ von $- 10$ .

$x^{2} - 3 x - 18 = 0$

Schritt 3.5

Faktorisiere $x^{2} - 3 x - 18$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.5.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 18$ und deren Summe $- 3$ ist.

$- 6, 3$

Schritt 3.5.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 6) (x + 3) = 0$

Schritt 3.6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 6 = 0$

$x + 3 = 0$

Schritt 3.7

Setze $x - 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.7.1

Setze $x - 6$ gleich $0$ .

$x - 6 = 0$

Schritt 3.7.2

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 6$

Schritt 3.8

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.8.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 3.8.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 3.9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 6) (x + 3) = 0$ wahr machen.

$x = 6, - 3$

Schritt 4

Schließe die Lösungen aus, die $\log_{2} (x + 2) + \log_{2} (x - 5) = 3$ nicht erfüllen.

$x = 6$