Analysis Beispiele

$\log (x + 9) - \log (x - 9) = 1$

Schritt 1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{x + 9}{x - 9}) = 1$

Schritt 2

Schreibe $\log (\frac{x + 9}{x - 9}) = 1$ in Exponentialform um durch Anwendung der Definition eines Logarithmus. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b$ $\neq$ $1$ , dann ist $\log_{b} (x) = y$ äquivalent zu $b^{y} = x$ .

$10^{1} = \frac{x + 9}{x - 9}$

Schritt 3

Multipliziere über Kreuz, um den Bruch zu entfernen.

$x + 9 = 10 (x - 9)$

Schritt 4

Vereinfache $10 (x - 9)$ .

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x + 9 = 10 x + 10 \cdot - 9$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $10$ mit $- 9$ .

$x + 9 = 10 x - 90$

Schritt 5

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $10 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x + 9 - 10 x = - 90$

Schritt 5.2

Subtrahiere $10 x$ von $x$ .

$- 9 x + 9 = - 90$

Schritt 6

Faktorisiere $9$ aus $- 9 x + 9$ heraus.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $9$ aus $- 9 x$ heraus.

$9 (- x) + 9 = - 90$

Schritt 6.2

Faktorisiere $9$ aus $9$ heraus.

$9 (- x) + 9 (1) = - 90$

Schritt 6.3

Faktorisiere $9$ aus $9 (- x) + 9 (1)$ heraus.

$9 (- x + 1) = - 90$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $9 (- x + 1) = - 90$ durch $9$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $9 (- x + 1) = - 90$ durch $9$ .

$\frac{9 (- x + 1)}{9} = \frac{- 90}{9}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9 (- x + 1)}{9} = \frac{- 90}{9}$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere $- x + 1$ durch $1$ .

$- x + 1 = \frac{- 90}{9}$

Schritt 7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.1

Dividiere $- 90$ durch $9$ .

$- x + 1 = - 10$

Schritt 8

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 8.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 10 - 1$

Schritt 8.2

Subtrahiere $1$ von $- 10$ .

$- x = - 11$

Schritt 9

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 11$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 9.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 11$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 11}{- 1}$

Schritt 9.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 11}{- 1}$

Schritt 9.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 11}{- 1}$

Schritt 9.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.3.1

Dividiere $- 11$ durch $- 1$ .

$x = 11$