Analysis Beispiele

$\frac{x}{4} + 2 \sqrt{x} + 15 = x$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die nicht $2 \sqrt{x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $\frac{x}{4}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 \sqrt{x} + 15 = x - \frac{x}{4}$

Schritt 1.2

Subtrahiere $15$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 \sqrt{x} = x - \frac{x}{4} - 15$

Schritt 2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(2 \sqrt{x})}^{2} = {(x - \frac{x}{4} - 15)}^{2}$

Schritt 3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - \frac{x}{4} - 15)}^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache ${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Wende die Produktregel auf $2 x^{\frac{1}{2}}$ an.

$2^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - \frac{x}{4} - 15)}^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - \frac{x}{4} - 15)}^{2}$

Schritt 3.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - \frac{x}{4} - 15)}^{2}$

Schritt 3.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - \frac{x}{4} - 15)}^{2}$

Schritt 3.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$4 x^{1} = {(x - \frac{x}{4} - 15)}^{2}$

Schritt 3.2.1.4

Vereinfache.

$4 x = {(x - \frac{x}{4} - 15)}^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache ${(x - \frac{x}{4} - 15)}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Um $x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$4 x = {(x \cdot \frac{4}{4} - \frac{x}{4} - 15)}^{2}$

Schritt 3.3.1.2

Kombiniere $x$ und $\frac{4}{4}$ .

$4 x = {(\frac{x \cdot 4}{4} - \frac{x}{4} - 15)}^{2}$

Schritt 3.3.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 x = {(\frac{x \cdot 4 - x}{4} - 15)}^{2}$

Schritt 3.3.1.4

Subtrahiere $x$ von $x \cdot 4$ .

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Schritt 3.3.1.4.1

Stelle $x$ und $4$ um.

$4 x = {(\frac{4 \cdot x - x}{4} - 15)}^{2}$

Schritt 3.3.1.4.2

Subtrahiere $x$ von $4 \cdot x$ .

$4 x = {(\frac{3 \cdot x}{4} - 15)}^{2}$

Schritt 3.3.1.5

Schreibe ${(\frac{3 x}{4} - 15)}^{2}$ als $(\frac{3 x}{4} - 15) (\frac{3 x}{4} - 15)$ um.

$4 x = (\frac{3 x}{4} - 15) (\frac{3 x}{4} - 15)$

Schritt 3.3.1.6

Multipliziere $(\frac{3 x}{4} - 15) (\frac{3 x}{4} - 15)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.3.1.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x = \frac{3 x}{4} (\frac{3 x}{4} - 15) - 15 (\frac{3 x}{4} - 15)$

Schritt 3.3.1.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x = \frac{3 x}{4} \cdot \frac{3 x}{4} + \frac{3 x}{4} \cdot - 15 - 15 (\frac{3 x}{4} - 15)$

Schritt 3.3.1.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x = \frac{3 x}{4} \cdot \frac{3 x}{4} + \frac{3 x}{4} \cdot - 15 - 15 \frac{3 x}{4} - 15 \cdot - 15$

Schritt 3.3.1.7

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.3.1.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.7.1.1

Multipliziere $\frac{3 x}{4} \cdot \frac{3 x}{4}$ .

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Schritt 3.3.1.7.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{3 x}{4}$ mit $\frac{3 x}{4}$ .

$4 x = \frac{3 x (3 x)}{4 \cdot 4} + \frac{3 x}{4} \cdot - 15 - 15 \frac{3 x}{4} - 15 \cdot - 15$

Schritt 3.3.1.7.1.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$4 x = \frac{9 x \cdot x}{4 \cdot 4} + \frac{3 x}{4} \cdot - 15 - 15 \frac{3 x}{4} - 15 \cdot - 15$

Schritt 3.3.1.7.1.1.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$4 x = \frac{9 (x^{1} x)}{4 \cdot 4} + \frac{3 x}{4} \cdot - 15 - 15 \frac{3 x}{4} - 15 \cdot - 15$

Schritt 3.3.1.7.1.1.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$4 x = \frac{9 (x^{1} x^{1})}{4 \cdot 4} + \frac{3 x}{4} \cdot - 15 - 15 \frac{3 x}{4} - 15 \cdot - 15$

Schritt 3.3.1.7.1.1.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 x = \frac{9 x^{1 + 1}}{4 \cdot 4} + \frac{3 x}{4} \cdot - 15 - 15 \frac{3 x}{4} - 15 \cdot - 15$

Schritt 3.3.1.7.1.1.6

Addiere $1$ und $1$ .

$4 x = \frac{9 x^{2}}{4 \cdot 4} + \frac{3 x}{4} \cdot - 15 - 15 \frac{3 x}{4} - 15 \cdot - 15$

Schritt 3.3.1.7.1.1.7

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$4 x = \frac{9 x^{2}}{16} + \frac{3 x}{4} \cdot - 15 - 15 \frac{3 x}{4} - 15 \cdot - 15$

Schritt 3.3.1.7.1.2

Multipliziere $\frac{3 x}{4} \cdot - 15$ .

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Schritt 3.3.1.7.1.2.1

Kombiniere $\frac{3 x}{4}$ und $- 15$ .

$4 x = \frac{9 x^{2}}{16} + \frac{3 x \cdot - 15}{4} - 15 \frac{3 x}{4} - 15 \cdot - 15$

Schritt 3.3.1.7.1.2.2

Mutltipliziere $- 15$ mit $3$ .

$4 x = \frac{9 x^{2}}{16} + \frac{- 45 x}{4} - 15 \frac{3 x}{4} - 15 \cdot - 15$

Schritt 3.3.1.7.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$4 x = \frac{9 x^{2}}{16} - \frac{45 x}{4} - 15 \frac{3 x}{4} - 15 \cdot - 15$

Schritt 3.3.1.7.1.4

Multipliziere $- 15 \frac{3 x}{4}$ .

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Schritt 3.3.1.7.1.4.1

Kombiniere $- 15$ und $\frac{3 x}{4}$ .

$4 x = \frac{9 x^{2}}{16} - \frac{45 x}{4} + \frac{- 15 (3 x)}{4} - 15 \cdot - 15$

Schritt 3.3.1.7.1.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 15$ .

$4 x = \frac{9 x^{2}}{16} - \frac{45 x}{4} + \frac{- 45 x}{4} - 15 \cdot - 15$

Schritt 3.3.1.7.1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$4 x = \frac{9 x^{2}}{16} - \frac{45 x}{4} - \frac{45 x}{4} - 15 \cdot - 15$

Schritt 3.3.1.7.1.6

Mutltipliziere $- 15$ mit $- 15$ .

$4 x = \frac{9 x^{2}}{16} - \frac{45 x}{4} - \frac{45 x}{4} + 225$

Schritt 3.3.1.7.2

Subtrahiere $\frac{45 x}{4}$ von $- \frac{45 x}{4}$ .

$4 x = \frac{9 x^{2}}{16} - 2 \frac{45 x}{4} + 225$

Schritt 3.3.1.8

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.1.8.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$4 x = \frac{9 x^{2}}{16} + 2 (- 1) \frac{45 x}{4} + 225$

Schritt 3.3.1.8.1.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$4 x = \frac{9 x^{2}}{16} + 2 \cdot - 1 \frac{45 x}{2 \cdot 2} + 225$

Schritt 3.3.1.8.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 x = \frac{9 x^{2}}{16} + 2 \cdot - 1 \frac{45 x}{2 \cdot 2} + 225$

Schritt 3.3.1.8.1.4

Forme den Ausdruck um.

$4 x = \frac{9 x^{2}}{16} - 1 \frac{45 x}{2} + 225$

Schritt 3.3.1.8.2

Schreibe $- 1 \frac{45 x}{2}$ als $- \frac{45 x}{2}$ um.

$4 x = \frac{9 x^{2}}{16} - \frac{45 x}{2} + 225$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$\frac{9 x^{2}}{16} - \frac{45 x}{2} + 225 = 4 x$

Schritt 4.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $4 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{9 x^{2}}{16} - \frac{45 x}{2} + 225 - 4 x = 0$

Schritt 4.2.2

Um $- 4 x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9 x^{2}}{16} - \frac{45 x}{2} - 4 x \cdot \frac{2}{2} + 225 = 0$

Schritt 4.2.3

Kombiniere $- 4 x$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9 x^{2}}{16} - \frac{45 x}{2} + \frac{- 4 x \cdot 2}{2} + 225 = 0$

Schritt 4.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{9 x^{2}}{16} + \frac{- 45 x - 4 x \cdot 2}{2} + 225 = 0$

Schritt 4.2.5

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 4.2.5.1

Mutltipliziere $\frac{- 45 x - 4 x \cdot 2}{2}$ mit $\frac{8}{8}$ .

$\frac{9 x^{2}}{16} + \frac{- 45 x - 4 x \cdot 2}{2} \cdot \frac{8}{8} + 225 = 0$

Schritt 4.2.5.2

Mutltipliziere $\frac{- 45 x - 4 x \cdot 2}{2}$ mit $\frac{8}{8}$ .

$\frac{9 x^{2}}{16} + \frac{(- 45 x - 4 x \cdot 2) \cdot 8}{2 \cdot 8} + 225 = 0$

Schritt 4.2.5.3

Schreibe $225$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{9 x^{2}}{16} + \frac{(- 45 x - 4 x \cdot 2) \cdot 8}{2 \cdot 8} + \frac{225}{1} = 0$

Schritt 4.2.5.4

Mutltipliziere $\frac{225}{1}$ mit $\frac{16}{16}$ .

$\frac{9 x^{2}}{16} + \frac{(- 45 x - 4 x \cdot 2) \cdot 8}{2 \cdot 8} + \frac{225}{1} \cdot \frac{16}{16} = 0$

Schritt 4.2.5.5

Mutltipliziere $\frac{225}{1}$ mit $\frac{16}{16}$ .

$\frac{9 x^{2}}{16} + \frac{(- 45 x - 4 x \cdot 2) \cdot 8}{2 \cdot 8} + \frac{225 \cdot 16}{16} = 0$

Schritt 4.2.5.6

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$\frac{9 x^{2}}{16} + \frac{(- 45 x - 4 x \cdot 2) \cdot 8}{16} + \frac{225 \cdot 16}{16} = 0$

Schritt 4.2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{9 x^{2} + (- 45 x - 4 x \cdot 2) \cdot 8 + 225 \cdot 16}{16} = 0$

Schritt 4.2.7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.7.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$\frac{9 x^{2} + (- 45 x - 8 x) \cdot 8 + 225 \cdot 16}{16} = 0$

Schritt 4.2.7.2

Subtrahiere $8 x$ von $- 45 x$ .

$\frac{9 x^{2} - 53 x \cdot 8 + 225 \cdot 16}{16} = 0$

Schritt 4.2.7.3

Mutltipliziere $8$ mit $- 53$ .

$\frac{9 x^{2} - 424 x + 225 \cdot 16}{16} = 0$

Schritt 4.2.7.4

Mutltipliziere $225$ mit $16$ .

$\frac{9 x^{2} - 424 x + 3600}{16} = 0$

Schritt 4.2.8

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 4.2.8.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 9 \cdot 3600 = 32400$ und deren Summe gleich $b = - 424$ ist.

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Schritt 4.2.8.1.1

Faktorisiere $- 424$ aus $- 424 x$ heraus.

$\frac{9 x^{2} - 424 (x) + 3600}{16} = 0$

Schritt 4.2.8.1.2

Schreibe $- 424$ um als $- 100$ plus $- 324$

$\frac{9 x^{2} + (- 100 - 324) x + 3600}{16} = 0$

Schritt 4.2.8.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{9 x^{2} - 100 x - 324 x + 3600}{16} = 0$

Schritt 4.2.8.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.2.8.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(9 x^{2} - 100 x) - 324 x + 3600}{16} = 0$

Schritt 4.2.8.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{x (9 x - 100) - 36 (9 x - 100)}{16} = 0$

Schritt 4.2.8.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $9 x - 100$ .

$\frac{(9 x - 100) (x - 36)}{16} = 0$

Schritt 4.3

Setze den Zähler gleich Null.

$(9 x - 100) (x - 36) = 0$

Schritt 4.4

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 4.4.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$9 x - 100 = 0$

$x - 36 = 0$

Schritt 4.4.2

Setze $9 x - 100$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.4.2.1

Setze $9 x - 100$ gleich $0$ .

$9 x - 100 = 0$

Schritt 4.4.2.2

Löse $9 x - 100 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.4.2.2.1

Addiere $100$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$9 x = 100$

Schritt 4.4.2.2.2

Teile jeden Ausdruck in $9 x = 100$ durch $9$ und vereinfache.

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Schritt 4.4.2.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $9 x = 100$ durch $9$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{100}{9}$

Schritt 4.4.2.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.4.2.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 4.4.2.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9 x}{9} = \frac{100}{9}$

Schritt 4.4.2.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{100}{9}$

Schritt 4.4.3

Setze $x - 36$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.4.3.1

Setze $x - 36$ gleich $0$ .

$x - 36 = 0$

Schritt 4.4.3.2

Addiere $36$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 36$

Schritt 4.4.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(9 x - 100) (x - 36) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{100}{9}, 36$

Schritt 5

Schließe die Lösungen aus, die $\frac{x}{4} + 2 \sqrt{x} + 15 = x$ nicht erfüllen.

$x = 36$