Analysis Beispiele

$\sqrt{25 - x^{2}} - \frac{x^{2}}{\sqrt{25 - x^{2}}} = 0$

Schritt 1

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\sqrt{5^{2} - x^{2}} - \frac{x^{2}}{\sqrt{25 - x^{2}}} = 0$

Schritt 1.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 5$ und $b = x$ .

$\sqrt{(5 + x) (5 - x)} - \frac{x^{2}}{\sqrt{25 - x^{2}}} = 0$

Schritt 1.1.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1.3.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\sqrt{(5 + x) (5 - x)} - \frac{x^{2}}{\sqrt{5^{2} - x^{2}}} = 0$

Schritt 1.1.3.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 5$ und $b = x$ .

$\sqrt{(5 + x) (5 - x)} - \frac{x^{2}}{\sqrt{(5 + x) (5 - x)}} = 0$

Schritt 1.1.4

Mutltipliziere $\frac{x^{2}}{\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}$ mit $\frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}$ .

$\sqrt{(5 + x) (5 - x)} - (\frac{x^{2}}{\sqrt{(5 + x) (5 - x)}} \cdot \frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}) = 0$

Schritt 1.1.5

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1.5.1

Mutltipliziere $\frac{x^{2}}{\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}$ mit $\frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}$ .

$\sqrt{(5 + x) (5 - x)} - \frac{x^{2} \sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{\sqrt{(5 + x) (5 - x)} \sqrt{(5 + x) (5 - x)}} = 0$

Schritt 1.1.5.2

Potenziere $\sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ mit $1$ .

$\sqrt{(5 + x) (5 - x)} - \frac{x^{2} \sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{{\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}^{1} \sqrt{(5 + x) (5 - x)}} = 0$

Schritt 1.1.5.3

Potenziere $\sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ mit $1$ .

$\sqrt{(5 + x) (5 - x)} - \frac{x^{2} \sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{{\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}^{1} {\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}^{1}} = 0$

Schritt 1.1.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sqrt{(5 + x) (5 - x)} - \frac{x^{2} \sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{{\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}^{1 + 1}} = 0$

Schritt 1.1.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\sqrt{(5 + x) (5 - x)} - \frac{x^{2} \sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{{\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}^{2}} = 0$

Schritt 1.1.5.6

Schreibe ${\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}^{2}$ als $(5 + x) (5 - x)$ um.

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Schritt 1.1.5.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ als ${((5 + x) (5 - x))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{(5 + x) (5 - x)} - \frac{x^{2} \sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{{({((5 + x) (5 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}} = 0$

Schritt 1.1.5.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{(5 + x) (5 - x)} - \frac{x^{2} \sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{{((5 + x) (5 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = 0$

Schritt 1.1.5.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{(5 + x) (5 - x)} - \frac{x^{2} \sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{{((5 + x) (5 - x))}^{\frac{2}{2}}} = 0$

Schritt 1.1.5.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.1.5.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{(5 + x) (5 - x)} - \frac{x^{2} \sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{{((5 + x) (5 - x))}^{\frac{2}{2}}} = 0$

Schritt 1.1.5.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{(5 + x) (5 - x)} - \frac{x^{2} \sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{{((5 + x) (5 - x))}^{1}} = 0$

Schritt 1.1.5.6.5

Vereinfache.

$\sqrt{(5 + x) (5 - x)} - \frac{x^{2} \sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{(5 + x) (5 - x)} = 0$

Schritt 1.2

Um $\sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{(5 + x) (5 - x)}{(5 + x) (5 - x)}$ .

$\sqrt{(5 + x) (5 - x)} \cdot \frac{(5 + x) (5 - x)}{(5 + x) (5 - x)} - \frac{x^{2} \sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{(5 + x) (5 - x)} = 0$

Schritt 1.3

Kombiniere $\sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ und $\frac{(5 + x) (5 - x)}{(5 + x) (5 - x)}$ .

$\frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)} ((5 + x) (5 - x))}{(5 + x) (5 - x)} - \frac{x^{2} \sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{(5 + x) (5 - x)} = 0$

Schritt 1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)} ((5 + x) (5 - x)) - x^{2} \sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{(5 + x) (5 - x)} = 0$

Schritt 1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.5.1

Faktorisiere $\sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ aus $\sqrt{(5 + x) (5 - x)} ((5 + x) (5 - x)) - x^{2} \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ heraus.

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Schritt 1.5.1.1

Faktorisiere $\sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ aus $- x^{2} \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ heraus.

$\frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)} ((5 + x) (5 - x)) + \sqrt{(5 + x) (5 - x)} (- x^{2})}{(5 + x) (5 - x)} = 0$

Schritt 1.5.1.2

Faktorisiere $\sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ aus $\sqrt{(5 + x) (5 - x)} ((5 + x) (5 - x)) + \sqrt{(5 + x) (5 - x)} (- x^{2})$ heraus.

$\frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)} ((5 + x) (5 - x) - x^{2})}{(5 + x) (5 - x)} = 0$

Schritt 1.5.2

Multipliziere $(5 + x) (5 - x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.5.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)} (5 (5 - x) + x (5 - x) - x^{2})}{(5 + x) (5 - x)} = 0$

Schritt 1.5.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)} (5 \cdot 5 + 5 (- x) + x (5 - x) - x^{2})}{(5 + x) (5 - x)} = 0$

Schritt 1.5.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)} (5 \cdot 5 + 5 (- x) + x \cdot 5 + x (- x) - x^{2})}{(5 + x) (5 - x)} = 0$

Schritt 1.5.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.3.1.1

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$\frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)} (25 + 5 (- x) + x \cdot 5 + x (- x) - x^{2})}{(5 + x) (5 - x)} = 0$

Schritt 1.5.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)} (25 - 5 x + x \cdot 5 + x (- x) - x^{2})}{(5 + x) (5 - x)} = 0$

Schritt 1.5.3.1.3

Bringe $5$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)} (25 - 5 x + 5 \cdot x + x (- x) - x^{2})}{(5 + x) (5 - x)} = 0$

Schritt 1.5.3.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)} (25 - 5 x + 5 x - x \cdot x - x^{2})}{(5 + x) (5 - x)} = 0$

Schritt 1.5.3.1.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.5.3.1.5.1

Bewege $x$ .

$\frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)} (25 - 5 x + 5 x - (x \cdot x) - x^{2})}{(5 + x) (5 - x)} = 0$

Schritt 1.5.3.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)} (25 - 5 x + 5 x - x^{2} - x^{2})}{(5 + x) (5 - x)} = 0$

Schritt 1.5.3.2

Addiere $- 5 x$ und $5 x$ .

$\frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)} (25 + 0 - x^{2} - x^{2})}{(5 + x) (5 - x)} = 0$

Schritt 1.5.3.3

Addiere $25$ und $0$ .

$\frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)} (25 - x^{2} - x^{2})}{(5 + x) (5 - x)} = 0$

Schritt 1.5.4

Subtrahiere $x^{2}$ von $- x^{2}$ .

$\frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)} (25 - 2 x^{2})}{(5 + x) (5 - x)} = 0$

Schritt 2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ als ${((5 + x) (5 - x))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{{((5 + x) (5 - x))}^{\frac{1}{2}} (25 - 2 x^{2})}{(5 + x) (5 - x)} = 0$

Schritt 3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1

Multipliziere $(5 + x) (5 - x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{{(5 (5 - x) + x (5 - x))}^{\frac{1}{2}} (25 - 2 x^{2})}{(5 + x) (5 - x)} = 0$

Schritt 3.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{{(5 \cdot 5 + 5 (- x) + x (5 - x))}^{\frac{1}{2}} (25 - 2 x^{2})}{(5 + x) (5 - x)} = 0$

Schritt 3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{{(5 \cdot 5 + 5 (- x) + x \cdot 5 + x (- x))}^{\frac{1}{2}} (25 - 2 x^{2})}{(5 + x) (5 - x)} = 0$

Schritt 3.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$\frac{{(25 + 5 (- x) + x \cdot 5 + x (- x))}^{\frac{1}{2}} (25 - 2 x^{2})}{(5 + x) (5 - x)} = 0$

Schritt 3.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{{(25 - 5 x + x \cdot 5 + x (- x))}^{\frac{1}{2}} (25 - 2 x^{2})}{(5 + x) (5 - x)} = 0$

Schritt 3.2.1.3

Bringe $5$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{{(25 - 5 x + 5 x + x (- x))}^{\frac{1}{2}} (25 - 2 x^{2})}{(5 + x) (5 - x)} = 0$

Schritt 3.2.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{{(25 - 5 x + 5 x - x \cdot x)}^{\frac{1}{2}} (25 - 2 x^{2})}{(5 + x) (5 - x)} = 0$

Schritt 3.2.1.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.1.5.1

Bewege $x$ .

$\frac{{(25 - 5 x + 5 x - (x \cdot x))}^{\frac{1}{2}} (25 - 2 x^{2})}{(5 + x) (5 - x)} = 0$

Schritt 3.2.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{{(25 - 5 x + 5 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (25 - 2 x^{2})}{(5 + x) (5 - x)} = 0$

Schritt 3.2.2

Addiere $- 5 x$ und $5 x$ .

$\frac{{(25 + 0 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (25 - 2 x^{2})}{(5 + x) (5 - x)} = 0$

Schritt 3.2.3

Addiere $25$ und $0$ .

$\frac{{(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (25 - 2 x^{2})}{(5 + x) (5 - x)} = 0$

Schritt 4

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 4.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$(5 + x) (5 - x), 1$

Schritt 4.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$(5 + x) (5 - x)$

Schritt 5

Multipliziere jeden Term in $\frac{{(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (25 - 2 x^{2})}{(5 + x) (5 - x)} = 0$ mit $(5 + x) (5 - x)$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 5.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{{(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (25 - 2 x^{2})}{(5 + x) (5 - x)} = 0$ mit $(5 + x) (5 - x)$ .

$\frac{{(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (25 - 2 x^{2})}{(5 + x) (5 - x)} ((5 + x) (5 - x)) = 0 ((5 + x) (5 - x))$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $(5 + x) (5 - x)$ .

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (25 - 2 x^{2})}{(5 + x) (5 - x)} ((5 + x) (5 - x)) = 0 ((5 + x) (5 - x))$

Schritt 5.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

${(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (25 - 2 x^{2}) = 0 ((5 + x) (5 - x))$

Schritt 5.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

${(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 25 + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (- 2 x^{2}) = 0 ((5 + x) (5 - x))$

Schritt 5.2.3

Stelle um.

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Schritt 5.2.3.1

Bringe $25$ auf die linke Seite von ${(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$25 \cdot {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (- 2 x^{2}) = 0 ((5 + x) (5 - x))$

Schritt 5.2.3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$25 \cdot {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2} = 0 ((5 + x) (5 - x))$

Schritt 5.2.3.3

Stelle die Faktoren in $25 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}$ um.

$25 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 x^{2} {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} = 0 ((5 + x) (5 - x))$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Multipliziere $(5 + x) (5 - x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$25 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 x^{2} {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} = 0 (5 (5 - x) + x (5 - x))$

Schritt 5.3.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$25 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 x^{2} {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} = 0 (5 \cdot 5 + 5 (- x) + x (5 - x))$

Schritt 5.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$25 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 x^{2} {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} = 0 (5 \cdot 5 + 5 (- x) + x \cdot 5 + x (- x))$

Schritt 5.3.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.2.1.1

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$25 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 x^{2} {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} = 0 (25 + 5 (- x) + x \cdot 5 + x (- x))$

Schritt 5.3.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$25 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 x^{2} {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} = 0 (25 - 5 x + x \cdot 5 + x (- x))$

Schritt 5.3.2.1.3

Bringe $5$ auf die linke Seite von $x$ .

$25 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 x^{2} {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} = 0 (25 - 5 x + 5 \cdot x + x (- x))$

Schritt 5.3.2.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$25 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 x^{2} {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} = 0 (25 - 5 x + 5 x - x \cdot x)$

Schritt 5.3.2.1.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.2.1.5.1

Bewege $x$ .

$25 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 x^{2} {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} = 0 (25 - 5 x + 5 x - (x \cdot x))$

Schritt 5.3.2.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$25 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 x^{2} {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} = 0 (25 - 5 x + 5 x - x^{2})$

Schritt 5.3.2.2

Addiere $- 5 x$ und $5 x$ .

$25 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 x^{2} {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} = 0 (25 + 0 - x^{2})$

Schritt 5.3.2.3

Addiere $25$ und $0$ .

$25 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 x^{2} {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} = 0 (25 - x^{2})$

Schritt 5.3.3

Mutltipliziere $0$ mit $25 - x^{2}$ .

$25 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 x^{2} {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} = 0$

Schritt 6

Löse die Gleichung.

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Schritt 6.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1.1

Füge Klammern hinzu.

$25 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 (x^{2} {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 0$

Schritt 6.1.2

Es sei $u = {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ . Ersetze $u$ für alle ${(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$25 u - 2 x^{2} u = 0$

Schritt 6.1.3

Faktorisiere $u$ aus $25 u - 2 x^{2} u$ heraus.

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Schritt 6.1.3.1

Faktorisiere $u$ aus $25 u$ heraus.

$u \cdot 25 - 2 x^{2} u = 0$

Schritt 6.1.3.2

Faktorisiere $u$ aus $- 2 x^{2} u$ heraus.

$u \cdot 25 + u (- 2 x^{2}) = 0$

Schritt 6.1.3.3

Faktorisiere $u$ aus $u \cdot 25 + u (- 2 x^{2})$ heraus.

$u (25 - 2 x^{2}) = 0$

Schritt 6.1.4

Ersetze alle $u$ durch ${(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (25 - 2 x^{2}) = 0$

Schritt 6.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

${(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} = 0$

$25 - 2 x^{2} = 0$

Schritt 6.3

Setze ${(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.1

Setze ${(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ gleich $0$ .

${(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} = 0$

Schritt 6.3.2

Löse ${(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.2.1

Setze $25 - x^{2}$ gleich $0$ .

$25 - x^{2} = 0$

Schritt 6.3.2.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.2.2.1

Subtrahiere $25$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x^{2} = - 25$

Schritt 6.3.2.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} = - 25$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.2.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} = - 25$ durch $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 25}{- 1}$

Schritt 6.3.2.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 25}{- 1}$

Schritt 6.3.2.2.2.2.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 25}{- 1}$

Schritt 6.3.2.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.2.2.2.3.1

Dividiere $- 25$ durch $- 1$ .

$x^{2} = 25$

Schritt 6.3.2.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{25}$

Schritt 6.3.2.2.4

Vereinfache $\pm \sqrt{25}$ .

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Schritt 6.3.2.2.4.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{5^{2}}$

Schritt 6.3.2.2.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 5$

Schritt 6.3.2.2.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 6.3.2.2.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 5$

Schritt 6.3.2.2.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 5$

Schritt 6.3.2.2.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 5, - 5$

Schritt 6.4

Setze $25 - 2 x^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.4.1

Setze $25 - 2 x^{2}$ gleich $0$ .

$25 - 2 x^{2} = 0$

Schritt 6.4.2

Löse $25 - 2 x^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.4.2.1

Subtrahiere $25$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 x^{2} = - 25$

Schritt 6.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x^{2} = - 25$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 6.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x^{2} = - 25$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 25}{- 2}$

Schritt 6.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 6.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 25}{- 2}$

Schritt 6.4.2.2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 25}{- 2}$

Schritt 6.4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.4.2.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x^{2} = \frac{25}{2}$

Schritt 6.4.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{25}{2}}$

Schritt 6.4.2.4

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{25}{2}}$ .

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Schritt 6.4.2.4.1

Schreibe $\sqrt{\frac{25}{2}}$ als $\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{2}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{2}}$

Schritt 6.4.2.4.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.4.2.4.2.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{5^{2}}}{\sqrt{2}}$

Schritt 6.4.2.4.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm \frac{5}{\sqrt{2}}$

Schritt 6.4.2.4.3

Mutltipliziere $\frac{5}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{5}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 6.4.2.4.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.4.2.4.4.1

Mutltipliziere $\frac{5}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{5 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 6.4.2.4.4.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{5 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Schritt 6.4.2.4.4.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{5 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Schritt 6.4.2.4.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm \frac{5 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 6.4.2.4.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \pm \frac{5 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 6.4.2.4.4.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 6.4.2.4.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm \frac{5 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 6.4.2.4.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{5 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 6.4.2.4.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \pm \frac{5 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 6.4.2.4.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.4.2.4.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm \frac{5 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 6.4.2.4.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm \frac{5 \sqrt{2}}{2^{1}}$

Schritt 6.4.2.4.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$x = \pm \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 6.4.2.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 6.4.2.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 6.4.2.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 6.4.2.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{5 \sqrt{2}}{2}, - \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 6.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die ${(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (25 - 2 x^{2}) = 0$ wahr machen.

$x = 5, - 5, \frac{5 \sqrt{2}}{2}, - \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 7

Schließe die Lösungen aus, die $\sqrt{25 - x^{2}} - \frac{x^{2}}{\sqrt{25 - x^{2}}} = 0$ nicht erfüllen.

$x = \frac{5 \sqrt{2}}{2}, - \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{5 \sqrt{2}}{2}, - \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

Dezimalform:

$x = 3.53553390 \dots, - 3.53553390 \dots$