Analysis Beispiele

$\sqrt{3^{x}} = 50$

Schritt 1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{3^{x}}}^{2} = 50^{2}$

Schritt 2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3^{x}}$ als $3^{\frac{x}{2}}$ neu zu schreiben.

${(3^{\frac{x}{2}})}^{2} = 50^{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(3^{\frac{x}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3^{\frac{x}{2} \cdot 2} = 50^{2}$

Schritt 2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3^{\frac{x}{2} \cdot 2} = 50^{2}$

Schritt 2.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$3^{x} = 50^{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Potenziere $50$ mit $2$ .

$3^{x} = 2500$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (3^{x}) = \ln (2500)$

Schritt 3.2

Zerlege $\ln (3^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (3) = \ln (2500)$

Schritt 3.3

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (3) = \ln (2500)$ durch $\ln (3)$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (3) = \ln (2500)$ durch $\ln (3)$ .

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (2500)}{\ln (3)}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (3)$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (2500)}{\ln (3)}$

Schritt 3.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\ln (2500)}{\ln (3)}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{\ln (2500)}{\ln (3)}$

Dezimalform:

$x = 7.12175359 \dots$