Analysis Beispiele

$\sec^{2} (x) + \tan (x) - 3 = 0$

Schritt 1

Ersetze die $\sec^{2} (x)$ durch $1 + \tan^{2} (x)$ basierend auf der $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ -Identitätsgleichung.

$(1 + \tan^{2} (x)) + \tan (x) - 3 = 0$

Schritt 2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$\tan^{2} (x) + \tan (x) - 2 = 0$

Schritt 3

Ersetze $\tan (x)$ durch $u$ .

${(u)}^{2} + u - 2 = 0$

Schritt 4

Faktorisiere $u^{2} + u - 2$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 4.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 2$ und deren Summe $1$ ist.

$- 1, 2$

Schritt 4.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 1) (u + 2) = 0$

Schritt 5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$u - 1 = 0$

$u + 2 = 0$

Schritt 6

Setze $u - 1$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $u - 1$ gleich $0$ .

$u - 1 = 0$

Schritt 6.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 1$

Schritt 7

Setze $u + 2$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $u + 2$ gleich $0$ .

$u + 2 = 0$

Schritt 7.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$u = - 2$

Schritt 8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(u - 1) (u + 2) = 0$ wahr machen.

$u = 1, - 2$

Schritt 9

Ersetze $u$ durch $\tan (x)$ .

$\tan (x) = 1, - 2$

Schritt 10

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\tan (x) = 1$

$\tan (x) = - 2$

Schritt 11

Löse in $\tan (x) = 1$ nach $x$ auf.

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Schritt 11.1

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x = \arctan (1)$

Schritt 11.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 11.2.1

Der genau Wert von $\arctan (1)$ ist $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Schritt 11.3

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

$x = π + \frac{π}{4}$

Schritt 11.4

Vereinfache $π + \frac{π}{4}$ .

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Schritt 11.4.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 11.4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 11.4.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 11.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Schritt 11.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.4.3.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Schritt 11.4.3.2

Addiere $4 π$ und $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Schritt 11.5

Ermittele die Periode von $\tan (x)$ .

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Schritt 11.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 11.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 11.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 11.5.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 11.6

Die Periode der Funktion $\tan (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 12

Löse in $\tan (x) = - 2$ nach $x$ auf.

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Schritt 12.1

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x = \arctan (- 2)$

Schritt 12.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 12.2.1

Berechne $\arctan (- 2)$ .

$x = - 1.10714871$

Schritt 12.3

Die Tangensfunktion ist negativ im zweiten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = - 1.10714871 - (3.14159265)$

Schritt 12.4

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 12.4.1

Addiere $2 π$ zu $- 1.10714871 - (3.14159265)$ .

$x = - 1.10714871 - (3.14159265) + 2 π$

Schritt 12.4.2

Der resultierende Winkel von $2.03444393$ ist positiv und gleich $- 1.10714871 - (3.14159265)$ .

$x = 2.03444393$

Schritt 12.5

Ermittele die Periode von $\tan (x)$ .

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Schritt 12.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 12.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 12.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 12.5.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 12.6

Addiere $π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 12.6.1

Addiere $π$ zu $- 1.10714871$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- 1.10714871 + π$

Schritt 12.6.2

Ersetze durch dezimale Näherung.

$3.14159265 - 1.10714871$

Schritt 12.6.3

Subtrahiere $1.10714871$ von $3.14159265$ .

$2.03444393$

Schritt 12.6.4

Liste die neuen Winkel auf.

$x = 2.03444393$

Schritt 12.7

Die Periode der Funktion $\tan (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 2.03444393 + π n, 2.03444393 + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 13

Liste alle Lösungen auf.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n, 2.03444393 + π n, 2.03444393 + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 14

Fasse die Lösungen zusammen.

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Schritt 14.1

Führe $\frac{π}{4} + π n$ und $\frac{5 π}{4} + π n$ zu $\frac{π}{4} + π n$ zusammen.

$x = \frac{π}{4} + π n, 2.03444393 + π n, 2.03444393 + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 14.2

Führe $2.03444393 + π n$ und $2.03444393 + π n$ zu $2.03444393 + π n$ zusammen.

$x = \frac{π}{4} + π n, 2.03444393 + π n$ , für jede ganze Zahl $n$