Analysis Beispiele

$\int (x + 1) e^{7 x^{2} + 14 x} d x$

Schritt 1

Sei $u = 7 x^{2} + 14 x$ . Dann ist $d u = (14 x + 14) d x$ , folglich $\frac{1}{14} d u = (x + 1) d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 7 x^{2} + 14 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $7 x^{2} + 14 x$ .

$\frac{d}{d x} [7 x^{2} + 14 x]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $7 x^{2} + 14 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [14 x]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [14 x]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [7 x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7 x^{2}$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [14 x]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$7 (2 x) + \frac{d}{d x} [14 x]$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$14 x + \frac{d}{d x} [14 x]$

Schritt 1.1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [14 x]$ .

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Schritt 1.1.4.1

Da $14$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $14 x$ nach $x$ gleich $14 \frac{d}{d x} [x]$ .

$14 x + 14 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$14 x + 14 \cdot 1$

Schritt 1.1.4.3

Mutltipliziere $14$ mit $1$ .

$14 x + 14$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int e^{u} \frac{1}{14} d u$

Schritt 2

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{14}$ .

$\int \frac{e^{u}}{14} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{14}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{14}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{14} \int e^{u} d u$

Schritt 4

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$\frac{1}{14} (e^{u} + C)$

Schritt 5

Vereinfache.

$\frac{1}{14} e^{u} + C$

Schritt 6

Ersetze alle $u$ durch $7 x^{2} + 14 x$ .

$\frac{1}{14} e^{7 x^{2} + 14 x} + C$