Analysis Beispiele

$f (x) = \ln (x)$

Schritt 1

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = \frac{1}{x}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- x^{- 2}$

Schritt 2.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = - 1$ und $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 3.2

Differenziere.

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Schritt 3.2.1

Schreibe $\frac{1}{x^{2}}$ als ${(x^{2})}^{- 1}$ um.

$- \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 3.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 3.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 3.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 3.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 2$ .

$- (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 3.2.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 3.2.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Schritt 3.2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.6.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x^{2}}$ mit $0$ .

$2 x^{- 3} + 0$

Schritt 3.2.6.2

Addiere $2 x^{- 3}$ und $0$ .

$2 x^{- 3}$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 \frac{1}{x^{3}}$

Schritt 3.3.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f''' (x) = \frac{2}{x^{3}}$

Schritt 4

Bestimme die vierte Ableitung.

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Schritt 4.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2}{x^{3}}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Schritt 4.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 4.2.1

Schreibe $\frac{1}{x^{3}}$ als ${(x^{3})}^{- 1}$ um.

$2 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Schritt 4.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3 \cdot - 1}]$

Schritt 4.2.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 3$ .

$2 (- 3 x^{- 4})$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$- 6 x^{- 4}$

Schritt 4.5

Vereinfache.

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Schritt 4.5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 6 \frac{1}{x^{4}}$

Schritt 4.5.2

Vereine die Terme

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Schritt 4.5.2.1

Kombiniere $- 6$ und $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{- 6}{x^{4}}$

Schritt 4.5.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f^{4} (x) = - \frac{6}{x^{4}}$

Schritt 5

Die vierte Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{6}{x^{4}}$ .

$- \frac{6}{x^{4}}$