Analysis Beispiele

$0 = \frac{π}{2} + π \cos (\frac{π x}{2})$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $\frac{π}{2} + π \cos (\frac{π x}{2}) = 0$ um.

$\frac{π}{2} + π \cos (\frac{π x}{2}) = 0$

Schritt 2

Subtrahiere $\frac{π}{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$π \cos (\frac{π x}{2}) = - \frac{π}{2}$

Schritt 3

Teile jeden Ausdruck in $π \cos (\frac{π x}{2}) = - \frac{π}{2}$ durch $π$ und vereinfache.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $π \cos (\frac{π x}{2}) = - \frac{π}{2}$ durch $π$ .

$\frac{π \cos (\frac{π x}{2})}{π} = \frac{- \frac{π}{2}}{π}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{π \cos (\frac{π x}{2})}{π} = \frac{- \frac{π}{2}}{π}$

Schritt 3.2.1.2

Dividiere $\cos (\frac{π x}{2})$ durch $1$ .

$\cos (\frac{π x}{2}) = \frac{- \frac{π}{2}}{π}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\cos (\frac{π x}{2}) = - \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{π}$

Schritt 3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 3.3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{π}{2}$ in den Zähler.

$\cos (\frac{π x}{2}) = \frac{- π}{2} \cdot \frac{1}{π}$

Schritt 3.3.2.2

Faktorisiere $π$ aus $- π$ heraus.

$\cos (\frac{π x}{2}) = \frac{π \cdot - 1}{2} \cdot \frac{1}{π}$

Schritt 3.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (\frac{π x}{2}) = \frac{π \cdot - 1}{2} \cdot \frac{1}{π}$

Schritt 3.3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\cos (\frac{π x}{2}) = \frac{- 1}{2}$

Schritt 3.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\cos (\frac{π x}{2}) = - \frac{1}{2}$

Schritt 4

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$\frac{π x}{2} = \arccos (- \frac{1}{2})$

Schritt 5

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.1

Der genau Wert von $\arccos (- \frac{1}{2})$ ist $\frac{2 π}{3}$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{2 π}{3}$

Schritt 6

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{2}{π}$ .

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2} = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Schritt 7

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 7.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.1.1

Vereinfache $\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2}$ .

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Schritt 7.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2} = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Schritt 7.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Schritt 7.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 7.1.1.2.1

Faktorisiere $π$ aus $π x$ heraus.

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Schritt 7.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Schritt 7.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Schritt 7.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache $\frac{2}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 7.2.1.1.1

Faktorisiere $π$ aus $2 π$ heraus.

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{π \cdot 2}{3}$

Schritt 7.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{π \cdot 2}{3}$

Schritt 7.2.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$x = 2 (\frac{2}{3})$

Schritt 7.2.1.2

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{3}$ .

$x = \frac{2 \cdot 2}{3}$

Schritt 7.2.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{4}{3}$

Schritt 8

Die Cosinus-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$\frac{π x}{2} = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Schritt 9

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 9.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{2}{π}$ .

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2} = \frac{2}{π} (2 π - \frac{2 π}{3})$

Schritt 9.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 9.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.2.1.1

Vereinfache $\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2}$ .

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Schritt 9.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.2.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2} = \frac{2}{π} (2 π - \frac{2 π}{3})$

Schritt 9.2.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{2}{π} (2 π - \frac{2 π}{3})$

Schritt 9.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 9.2.1.1.2.1

Faktorisiere $π$ aus $π x$ heraus.

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{2}{π} (2 π - \frac{2 π}{3})$

Schritt 9.2.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{2}{π} (2 π - \frac{2 π}{3})$

Schritt 9.2.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{2}{π} (2 π - \frac{2 π}{3})$

Schritt 9.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.2.2.1

Vereinfache $\frac{2}{π} (2 π - \frac{2 π}{3})$ .

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Schritt 9.2.2.1.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2}{π} (2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3})$

Schritt 9.2.2.1.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 9.2.2.1.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2}{π} (\frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3})$

Schritt 9.2.2.1.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Schritt 9.2.2.1.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.2.2.1.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{6 π - 2 π}{3}$

Schritt 9.2.2.1.3.2

Subtrahiere $2 π$ von $6 π$ .

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{4 π}{3}$

Schritt 9.2.2.1.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 9.2.2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 9.2.2.1.4.1.1

Faktorisiere $π$ aus $4 π$ heraus.

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{π \cdot 4}{3}$

Schritt 9.2.2.1.4.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{π \cdot 4}{3}$

Schritt 9.2.2.1.4.1.3

Forme den Ausdruck um.

$x = 2 (\frac{4}{3})$

Schritt 9.2.2.1.4.2

Kombiniere $2$ und $\frac{4}{3}$ .

$x = \frac{2 \cdot 4}{3}$

Schritt 9.2.2.1.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$x = \frac{8}{3}$

Schritt 10

Ermittele die Periode von $\cos (\frac{π x}{2})$ .

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Schritt 10.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 10.2

Ersetze $b$ durch $\frac{π}{2}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| \frac{π}{2} |}$

Schritt 10.3

$\frac{π}{2}$ ist ungefähr $1.57079632$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{\frac{π}{2}}$

Schritt 10.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 π \frac{2}{π}$

Schritt 10.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 10.5.1

Faktorisiere $π$ aus $2 π$ heraus.

$π \cdot 2 \frac{2}{π}$

Schritt 10.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$π \cdot 2 \frac{2}{π}$

Schritt 10.5.3

Forme den Ausdruck um.

$2 \cdot 2$

Schritt 10.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4$

Schritt 11

Die Periode der Funktion $\cos (\frac{π x}{2})$ ist $4$ , d. h., Werte werden sich alle $4$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{4}{3} + 4 n, \frac{8}{3} + 4 n$ , für jede ganze Zahl $n$