Analysis Beispiele

$\frac{90}{1 + e^{- x}} = 4$

Schritt 1

Multipliziere beide Seiten mit $1 + e^{- x}$ .

$\frac{90}{1 + e^{- x}} (1 + e^{- x}) = 4 (1 + e^{- x})$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + e^{- x}$ .

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Schritt 2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{90}{1 + e^{- x}} (1 + e^{- x}) = 4 (1 + e^{- x})$

Schritt 2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$90 = 4 (1 + e^{- x})$

Schritt 2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache $4 (1 + e^{- x})$ .

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Schritt 2.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$90 = 4 \cdot 1 + 4 e^{- x}$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$90 = 4 + 4 e^{- x}$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $4 + 4 e^{- x} = 90$ um.

$4 + 4 e^{- x} = 90$

Schritt 3.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 e^{- x} = 90 - 4$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $4$ von $90$ .

$4 e^{- x} = 86$

Schritt 3.3

Teile jeden Ausdruck in $4 e^{- x} = 86$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $4 e^{- x} = 86$ durch $4$ .

$\frac{4 e^{- x}}{4} = \frac{86}{4}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 e^{- x}}{4} = \frac{86}{4}$

Schritt 3.3.2.1.2

Dividiere $e^{- x}$ durch $1$ .

$e^{- x} = \frac{86}{4}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $86$ und $4$ .

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Schritt 3.3.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $86$ heraus.

$e^{- x} = \frac{2 (43)}{4}$

Schritt 3.3.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$e^{- x} = \frac{2 \cdot 43}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.3.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{- x} = \frac{2 \cdot 43}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.3.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e^{- x} = \frac{43}{2}$

Schritt 3.4

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{- x}) = \ln (\frac{43}{2})$

Schritt 3.5

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 3.5.1

Zerlege $\ln (e^{- x})$ durch Herausziehen von $- x$ aus dem Logarithmus.

$- x \ln (e) = \ln (\frac{43}{2})$

Schritt 3.5.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$- x \cdot 1 = \ln (\frac{43}{2})$

Schritt 3.5.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- x = \ln (\frac{43}{2})$

Schritt 3.6

Teile jeden Ausdruck in $- x = \ln (\frac{43}{2})$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.6.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = \ln (\frac{43}{2})$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{\ln (\frac{43}{2})}{- 1}$

Schritt 3.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.6.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{\ln (\frac{43}{2})}{- 1}$

Schritt 3.6.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\ln (\frac{43}{2})}{- 1}$

Schritt 3.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.6.3.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\ln (\frac{43}{2})}{- 1}$ .

$x = - 1 \cdot \ln (\frac{43}{2})$

Schritt 3.6.3.2

Schreibe $- 1 \cdot \ln (\frac{43}{2})$ als $- \ln (\frac{43}{2})$ um.

$x = - \ln (\frac{43}{2})$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - \ln (\frac{43}{2})$

Dezimalform:

$x = - 3.06805293 \dots$