Analysis Beispiele

$11^{x + 2} = 4^{7 x}$

Schritt 1

Logarithmiere beide Seiten der Gleichung.

$\ln (11^{x + 2}) = \ln (4^{7 x})$

Schritt 2

Zerlege $\ln (11^{x + 2})$ durch Herausziehen von $x + 2$ aus dem Logarithmus.

$(x + 2) \ln (11) = \ln (4^{7 x})$

Schritt 3

Zerlege $\ln (4^{7 x})$ durch Herausziehen von $7 x$ aus dem Logarithmus.

$(x + 2) \ln (11) = 7 x \ln (4)$

Schritt 4

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Vereinfache $(x + 2) \ln (11)$ .

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Schritt 4.1.1

Forme um.

$0 + 0 + (x + 2) \ln (11) = 7 x \ln (4)$

Schritt 4.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$(x + 2) \ln (11) = 7 x \ln (4)$

Schritt 4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x \ln (11) + 2 \ln (11) = 7 x \ln (4)$

Schritt 4.2

Subtrahiere $7 x \ln (4)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x \ln (11) + 2 \ln (11) - 7 x \ln (4) = 0$

Schritt 4.3

Subtrahiere $2 \ln (11)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x \ln (11) - 7 x \ln (4) = - 2 \ln (11)$

Schritt 4.4

Faktorisiere $x$ aus $x \ln (11) - 7 x \ln (4)$ heraus.

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Schritt 4.4.1

Faktorisiere $x$ aus $x \ln (11)$ heraus.

$x (\ln (11)) - 7 x \ln (4) = - 2 \ln (11)$

Schritt 4.4.2

Faktorisiere $x$ aus $- 7 x \ln (4)$ heraus.

$x (\ln (11)) + x (- 7 \ln (4)) = - 2 \ln (11)$

Schritt 4.4.3

Faktorisiere $x$ aus $x (\ln (11)) + x (- 7 \ln (4))$ heraus.

$x (\ln (11) - 7 \ln (4)) = - 2 \ln (11)$

Schritt 4.5

Teile jeden Ausdruck in $x (\ln (11) - 7 \ln (4)) = - 2 \ln (11)$ durch $\ln (11) - 7 \ln (4)$ und vereinfache.

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Schritt 4.5.1

Teile jeden Ausdruck in $x (\ln (11) - 7 \ln (4)) = - 2 \ln (11)$ durch $\ln (11) - 7 \ln (4)$ .

$\frac{x (\ln (11) - 7 \ln (4))}{\ln (11) - 7 \ln (4)} = \frac{- 2 \ln (11)}{\ln (11) - 7 \ln (4)}$

Schritt 4.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (11) - 7 \ln (4)$ .

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Schritt 4.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (\ln (11) - 7 \ln (4))}{\ln (11) - 7 \ln (4)} = \frac{- 2 \ln (11)}{\ln (11) - 7 \ln (4)}$

Schritt 4.5.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 2 \ln (11)}{\ln (11) - 7 \ln (4)}$

Schritt 4.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.5.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{2 \ln (11)}{\ln (11) - 7 \ln (4)}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - \frac{2 \ln (11)}{\ln (11) - 7 \ln (4)}$

Dezimalform:

$x = 0.65640324 \dots$