Analysis Beispiele

$\frac{{(x + 3)}^{2}}{64} - \frac{{(y + 1)}^{2}}{36} = 1$

Schritt 1

Addiere $\frac{{(y + 1)}^{2}}{36}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{{(x + 3)}^{2}}{64} = 1 + \frac{{(y + 1)}^{2}}{36}$

Schritt 2

Vereinfache $1 + \frac{{(y + 1)}^{2}}{36}$ .

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Schritt 2.1

Kombiniere zu einem Bruch.

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Schritt 2.1.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{{(x + 3)}^{2}}{64} = \frac{36}{36} + \frac{{(y + 1)}^{2}}{36}$

Schritt 2.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{{(x + 3)}^{2}}{64} = \frac{36 + {(y + 1)}^{2}}{36}$

Schritt 2.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.1

Schreibe ${(y + 1)}^{2}$ als $(y + 1) (y + 1)$ um.

$\frac{{(x + 3)}^{2}}{64} = \frac{36 + (y + 1) (y + 1)}{36}$

Schritt 2.2.2

Multipliziere $(y + 1) (y + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{{(x + 3)}^{2}}{64} = \frac{36 + y (y + 1) + 1 (y + 1)}{36}$

Schritt 2.2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{{(x + 3)}^{2}}{64} = \frac{36 + y \cdot y + y \cdot 1 + 1 (y + 1)}{36}$

Schritt 2.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{{(x + 3)}^{2}}{64} = \frac{36 + y \cdot y + y \cdot 1 + 1 y + 1 \cdot 1}{36}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.3.1.1

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$\frac{{(x + 3)}^{2}}{64} = \frac{36 + y^{2} + y \cdot 1 + 1 y + 1 \cdot 1}{36}$

Schritt 2.2.3.1.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$\frac{{(x + 3)}^{2}}{64} = \frac{36 + y^{2} + y + 1 y + 1 \cdot 1}{36}$

Schritt 2.2.3.1.3

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$\frac{{(x + 3)}^{2}}{64} = \frac{36 + y^{2} + y + y + 1 \cdot 1}{36}$

Schritt 2.2.3.1.4

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{{(x + 3)}^{2}}{64} = \frac{36 + y^{2} + y + y + 1}{36}$

Schritt 2.2.3.2

Addiere $y$ und $y$ .

$\frac{{(x + 3)}^{2}}{64} = \frac{36 + y^{2} + 2 y + 1}{36}$

Schritt 2.2.4

Addiere $36$ und $1$ .

$\frac{{(x + 3)}^{2}}{64} = \frac{y^{2} + 2 y + 37}{36}$

Schritt 3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $64$ .

$64 \frac{{(x + 3)}^{2}}{64} = 64 \frac{y^{2} + 2 y + 37}{36}$

Schritt 4

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $64$ .

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Schritt 4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$64 \frac{{(x + 3)}^{2}}{64} = 64 \frac{y^{2} + 2 y + 37}{36}$

Schritt 4.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

${(x + 3)}^{2} = 64 \frac{y^{2} + 2 y + 37}{36}$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $64 \frac{y^{2} + 2 y + 37}{36}$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.2.1.1.1

Faktorisiere $4$ aus $64$ heraus.

${(x + 3)}^{2} = 4 (16) \frac{y^{2} + 2 y + 37}{36}$

Schritt 4.2.1.1.2

Faktorisiere $4$ aus $36$ heraus.

${(x + 3)}^{2} = 4 \cdot 16 \frac{y^{2} + 2 y + 37}{4 \cdot 9}$

Schritt 4.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(x + 3)}^{2} = 4 \cdot 16 \frac{y^{2} + 2 y + 37}{4 \cdot 9}$

Schritt 4.2.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

${(x + 3)}^{2} = 16 \frac{y^{2} + 2 y + 37}{9}$

Schritt 4.2.1.2

Kombiniere $16$ und $\frac{y^{2} + 2 y + 37}{9}$ .

${(x + 3)}^{2} = \frac{16 (y^{2} + 2 y + 37)}{9}$

Schritt 5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x + 3 = \pm \sqrt{\frac{16 (y^{2} + 2 y + 37)}{9}}$

Schritt 6

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{16 (y^{2} + 2 y + 37)}{9}}$ .

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Schritt 6.1

Schreibe $\frac{16 (y^{2} + 2 y + 37)}{9}$ als ${(\frac{2^{2}}{3})}^{2} (y^{2} + 2 y + 37)$ um.

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Schritt 6.1.1

Faktorisiere die perfekte Potenz ${(2^{2})}^{2}$ aus $16 (y^{2} + 2 y + 37)$ heraus.

$x + 3 = \pm \sqrt{\frac{{(2^{2})}^{2} (y^{2} + 2 y + 37)}{9}}$

Schritt 6.1.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $3^{2}$ aus $9$ heraus.

$x + 3 = \pm \sqrt{\frac{{(2^{2})}^{2} (y^{2} + 2 y + 37)}{3^{2} \cdot 1}}$

Schritt 6.1.3

Ordne den Bruch $\frac{{(2^{2})}^{2} (y^{2} + 2 y + 37)}{3^{2} \cdot 1}$ um.

$x + 3 = \pm \sqrt{{(\frac{2^{2}}{3})}^{2} (y^{2} + 2 y + 37)}$

Schritt 6.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x + 3 = \pm \frac{2^{2}}{3} \sqrt{y^{2} + 2 y + 37}$

Schritt 6.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x + 3 = \pm \frac{4}{3} \sqrt{y^{2} + 2 y + 37}$

Schritt 6.4

Kombiniere $\frac{4}{3}$ und $\sqrt{y^{2} + 2 y + 37}$ .

$x + 3 = \pm \frac{4 \sqrt{y^{2} + 2 y + 37}}{3}$

Schritt 7

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 7.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x + 3 = \frac{4 \sqrt{y^{2} + 2 y + 37}}{3}$

Schritt 7.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = \frac{4 \sqrt{y^{2} + 2 y + 37}}{3} - 3$

Schritt 7.3

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x + 3 = - \frac{4 \sqrt{y^{2} + 2 y + 37}}{3}$

Schritt 7.4

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - \frac{4 \sqrt{y^{2} + 2 y + 37}}{3} - 3$

Schritt 7.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{4 \sqrt{y^{2} + 2 y + 37}}{3} - 3$

$x = - \frac{4 \sqrt{y^{2} + 2 y + 37}}{3} - 3$

$x = \frac{4 \sqrt{y^{2} + 2 y + 37}}{3} - 3$

$x = - \frac{4 \sqrt{y^{2} + 2 y + 37}}{3} - 3$