Analysis Beispiele

$f (x) = \sqrt{4 - x}$ , $a = 0$

Schritt 1

Betrachte die Funktion, die verwendet wird, um die Linearisierung bei $a$ zu bestimmen.

$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)$

Schritt 2

Setze den Wert von $a = 0$ in die Linearisierungsfunktion ein.

$L (x) = f (0) + f' (0) (x - 0)$

Schritt 3

Berechne $f (0)$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = \sqrt{4 - (0)}$

Schritt 3.2

Vereinfache $\sqrt{4 - (0)}$ .

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Schritt 3.2.1

Entferne die Klammern.

$\sqrt{4 - (0)}$

Schritt 3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\sqrt{4 + 0}$

Schritt 3.2.3

Addiere $4$ und $0$ .

$\sqrt{4}$

Schritt 3.2.4

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\sqrt{2^{2}}$

Schritt 3.2.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$2$

Schritt 4

Bestimme die Ableitung und berechne sie bei $0$ .

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Schritt 4.1

Ermittele die Ableitung von $f (x) = \sqrt{4 - x}$ .

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Schritt 4.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{4 - x}$ als ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 4 - x$ .

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Schritt 4.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $4 - x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 - x]$

Schritt 4.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x]$

Schritt 4.1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $4 - x$ .

$\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x]$

Schritt 4.1.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x]$

Schritt 4.1.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x]$

Schritt 4.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x]$

Schritt 4.1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x]$

Schritt 4.1.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x]$

Schritt 4.1.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.1.7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} {(4 - x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x]$

Schritt 4.1.7.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 - x]$

Schritt 4.1.7.3

Bringe ${(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x]$

Schritt 4.1.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 4.1.9

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 4.1.10

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 4.1.11

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.1.12

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} (- 1 \cdot 1)$

Schritt 4.1.13

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.1.13.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 1$

Schritt 4.1.13.2

Kombiniere $\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ und $- 1$ .

$\frac{- 1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.13.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.2

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$- \frac{1}{2 {(4 - (0))}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.3.1.1

Subtrahiere $0$ von $4$ .

$- \frac{1}{2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.3.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$- \frac{1}{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.3.1.3

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}}$

Schritt 4.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}}$

Schritt 4.3.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{2 \cdot 2^{1}}$

Schritt 4.3.1.5

Berechne den Exponenten.

$- \frac{1}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{1}{4}$

Schritt 5

Setze die Komponenten in die Linearisierungsfunktion ein, um die Linearisierung bei $a$ zu ermitteln.

$L (x) = 2 - \frac{1}{4} (x - 0)$

Schritt 6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1

Subtrahiere $0$ von $x$ .

$L (x) = 2 - \frac{1}{4} x$

Schritt 6.2

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{4}$ .

$L (x) = 2 - \frac{x}{4}$

Schritt 7