Analysis Beispiele

$\frac{1}{1 + a e^{- k t}} = \frac{1}{2}$

Schritt 1

Multipliziere beide Seiten mit $1 + a e^{- k t}$ .

$\frac{1}{1 + a e^{- k t}} (1 + a e^{- k t}) = \frac{1}{2} (1 + a e^{- k t})$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + a e^{- k t}$ .

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Schritt 2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{1 + a e^{- k t}} (1 + a e^{- k t}) = \frac{1}{2} (1 + a e^{- k t})$

Schritt 2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$1 = \frac{1}{2} (1 + a e^{- k t})$

Schritt 2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache $\frac{1}{2} (1 + a e^{- k t})$ .

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Schritt 2.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$1 = \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} (a e^{- k t})$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} (a e^{- k t})$

Schritt 2.2.1.3

Multipliziere $\frac{1}{2} (a e^{- k t})$ .

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Schritt 2.2.1.3.1

Kombiniere $a$ und $\frac{1}{2}$ .

$1 = \frac{1}{2} + \frac{a}{2} e^{- k t}$

Schritt 2.2.1.3.2

Kombiniere $\frac{a}{2}$ und $e^{- k t}$ .

$1 = \frac{1}{2} + \frac{a e^{- k t}}{2}$

Schritt 2.2.1.4

Stelle $\frac{1}{2}$ und $\frac{a e^{- k t}}{2}$ um.

$1 = \frac{a e^{- k t}}{2} + \frac{1}{2}$

Schritt 3

Löse nach $t$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{a e^{- k t}}{2} + \frac{1}{2} = 1$ um.

$\frac{a e^{- k t}}{2} + \frac{1}{2} = 1$

Schritt 3.2

Bringe alle Terme, die nicht $t$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $\frac{1}{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{a e^{- k t}}{2} = 1 - \frac{1}{2}$

Schritt 3.2.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{a e^{- k t}}{2} = \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Schritt 3.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{a e^{- k t}}{2} = \frac{2 - 1}{2}$

Schritt 3.2.4

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$\frac{a e^{- k t}}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 3.3

Da der Ausdruck auf jeder Seite der Gleichung den gleichen Nenner hat, müssen die Zähler gleich sein.

$a e^{- k t} = 1$

Schritt 3.4

Teile jeden Ausdruck in $a e^{- k t} = 1$ durch $a$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Teile jeden Ausdruck in $a e^{- k t} = 1$ durch $a$ .

$\frac{a e^{- k t}}{a} = \frac{1}{a}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $a$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{a e^{- k t}}{a} = \frac{1}{a}$

Schritt 3.4.2.1.2

Dividiere $e^{- k t}$ durch $1$ .

$e^{- k t} = \frac{1}{a}$

Schritt 3.5

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{- k t}) = \ln (\frac{1}{a})$

Schritt 3.6

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 3.6.1

Zerlege $\ln (e^{- k t})$ durch Herausziehen von $- k t$ aus dem Logarithmus.

$- k t \ln (e) = \ln (\frac{1}{a})$

Schritt 3.6.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$- k t \cdot 1 = \ln (\frac{1}{a})$

Schritt 3.6.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- k t = \ln (\frac{1}{a})$

Schritt 3.7

Teile jeden Ausdruck in $- k t = \ln (\frac{1}{a})$ durch $- k$ und vereinfache.

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Schritt 3.7.1

Teile jeden Ausdruck in $- k t = \ln (\frac{1}{a})$ durch $- k$ .

$\frac{- k t}{- k} = \frac{\ln (\frac{1}{a})}{- k}$

Schritt 3.7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.7.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{k t}{k} = \frac{\ln (\frac{1}{a})}{- k}$

Schritt 3.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $k$ .

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Schritt 3.7.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{k t}{k} = \frac{\ln (\frac{1}{a})}{- k}$

Schritt 3.7.2.2.2

Dividiere $t$ durch $1$ .

$t = \frac{\ln (\frac{1}{a})}{- k}$

Schritt 3.7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.7.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$t = - \frac{\ln (\frac{1}{a})}{k}$