Analysis Beispiele

$5 L = 20480 \cdot \frac{L^{4}}{4096^{2}}$

Schritt 1

Vereinfache $20480 \cdot \frac{L^{4}}{4096^{2}}$ .

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Schritt 1.1

Potenziere $4096$ mit $2$ .

$5 L = 20480 \cdot \frac{L^{4}}{16777216}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4096$ .

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $4096$ aus $20480$ heraus.

$5 L = 4096 (5) \cdot \frac{L^{4}}{16777216}$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere $4096$ aus $16777216$ heraus.

$5 L = 4096 \cdot 5 \cdot \frac{L^{4}}{4096 \cdot 4096}$

Schritt 1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 L = 4096 \cdot 5 \cdot \frac{L^{4}}{4096 \cdot 4096}$

Schritt 1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$5 L = 5 \cdot \frac{L^{4}}{4096}$

$5 L = \frac{5 L^{4}}{4096}$

Schritt 2

Subtrahiere $\frac{5 L^{4}}{4096}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 L - \frac{5 L^{4}}{4096} = 0$

Schritt 3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $5 L$ aus $5 L - \frac{5 L^{4}}{4096}$ heraus.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $5 L$ aus $5 L$ heraus.

$5 L (1) - \frac{5 L^{4}}{4096} = 0$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $5 L$ aus $- \frac{5 L^{4}}{4096}$ heraus.

$5 L (1) + 5 L (- \frac{L^{3}}{4096}) = 0$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere $5 L$ aus $5 L (1) + 5 L (- \frac{L^{3}}{4096})$ heraus.

$5 L (1 - \frac{L^{3}}{4096}) = 0$

Schritt 3.2

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$5 L (1^{3} - \frac{L^{3}}{4096}) = 0$

Schritt 3.3

Schreibe $\frac{L^{3}}{4096}$ als ${(\frac{L}{16})}^{3}$ um.

$5 L (1^{3} - {(\frac{L}{16})}^{3}) = 0$

Schritt 3.4

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = 1$ und $b = \frac{L}{16}$ .

$5 L ((1 - \frac{L}{16}) (1^{2} + 1 (\frac{L}{16}) + {(\frac{L}{16})}^{2})) = 0$

Schritt 3.5

Faktorisiere.

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Schritt 3.5.1

Vereinfache.

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Schritt 3.5.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$5 L ((1 - \frac{L}{16}) (1 + 1 (\frac{L}{16}) + {(\frac{L}{16})}^{2})) = 0$

Schritt 3.5.1.2

Mutltipliziere $\frac{L}{16}$ mit $1$ .

$5 L ((1 - \frac{L}{16}) (1 + \frac{L}{16} + {(\frac{L}{16})}^{2})) = 0$

Schritt 3.5.1.3

Wende die Produktregel auf $\frac{L}{16}$ an.

$5 L ((1 - \frac{L}{16}) (1 + \frac{L}{16} + \frac{L^{2}}{16^{2}})) = 0$

Schritt 3.5.1.4

Potenziere $16$ mit $2$ .

$5 L ((1 - \frac{L}{16}) (1 + \frac{L}{16} + \frac{L^{2}}{256})) = 0$

Schritt 3.5.2

Entferne unnötige Klammern.

$5 L (1 - \frac{L}{16}) (1 + \frac{L}{16} + \frac{L^{2}}{256}) = 0$

Schritt 4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$L = 0$

$1 - \frac{L}{16} = 0$

$1 + \frac{L}{16} + \frac{L^{2}}{256} = 0$

Schritt 5

Setze $L$ gleich $0$ .

$L = 0$

Schritt 6

Setze $1 - \frac{L}{16}$ gleich $0$ und löse nach $L$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $1 - \frac{L}{16}$ gleich $0$ .

$1 - \frac{L}{16} = 0$

Schritt 6.2

Löse $1 - \frac{L}{16} = 0$ nach $L$ auf.

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Schritt 6.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{L}{16} = - 1$

Schritt 6.2.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $- 16$ .

$- 16 (- \frac{L}{16}) = - 16 \cdot - 1$

Schritt 6.2.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 6.2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.3.1.1

Vereinfache $- 16 (- \frac{L}{16})$ .

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Schritt 6.2.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $16$ .

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Schritt 6.2.3.1.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{L}{16}$ in den Zähler.

$- 16 \frac{- L}{16} = - 16 \cdot - 1$

Schritt 6.2.3.1.1.1.2

Faktorisiere $16$ aus $- 16$ heraus.

$16 (- 1) \frac{- L}{16} = - 16 \cdot - 1$

Schritt 6.2.3.1.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$16 \cdot - 1 \frac{- L}{16} = - 16 \cdot - 1$

Schritt 6.2.3.1.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$- - L = - 16 \cdot - 1$

Schritt 6.2.3.1.1.2

Multipliziere.

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Schritt 6.2.3.1.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 L = - 16 \cdot - 1$

Schritt 6.2.3.1.1.2.2

Mutltipliziere $L$ mit $1$ .

$L = - 16 \cdot - 1$

Schritt 6.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.3.2.1

Mutltipliziere $- 16$ mit $- 1$ .

$L = 16$

Schritt 7

Setze $1 + \frac{L}{16} + \frac{L^{2}}{256}$ gleich $0$ und löse nach $L$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $1 + \frac{L}{16} + \frac{L^{2}}{256}$ gleich $0$ .

$1 + \frac{L}{16} + \frac{L^{2}}{256} = 0$

Schritt 7.2

Löse $1 + \frac{L}{16} + \frac{L^{2}}{256} = 0$ nach $L$ auf.

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Schritt 7.2.1

Multipliziere mit dem Hauptnenner $256$ aus und vereinfache dann.

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Schritt 7.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$256 \cdot 1 + 256 (\frac{L}{16}) + 256 (\frac{L^{2}}{256}) = 0$

Schritt 7.2.1.2

Vereinfache.

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Schritt 7.2.1.2.1

Mutltipliziere $256$ mit $1$ .

$256 + 256 (\frac{L}{16}) + 256 (\frac{L^{2}}{256}) = 0$

Schritt 7.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $16$ .

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Schritt 7.2.1.2.2.1

Faktorisiere $16$ aus $256$ heraus.

$256 + 16 (16) (\frac{L}{16}) + 256 (\frac{L^{2}}{256}) = 0$

Schritt 7.2.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$256 + 16 \cdot (16 (\frac{L}{16})) + 256 (\frac{L^{2}}{256}) = 0$

Schritt 7.2.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$256 + 16 L + 256 (\frac{L^{2}}{256}) = 0$

Schritt 7.2.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $256$ .

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Schritt 7.2.1.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$256 + 16 L + 256 (\frac{L^{2}}{256}) = 0$

Schritt 7.2.1.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$256 + 16 L + L^{2} = 0$

Schritt 7.2.1.3

Bewege $256$ .

$16 L + L^{2} + 256 = 0$

Schritt 7.2.1.4

Stelle $16 L$ und $L^{2}$ um.

$L^{2} + 16 L + 256 = 0$

Schritt 7.2.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 7.2.3

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 16$ und $c = 256$ in die Quadratformel ein und löse nach $L$ auf.

$\frac{- 16 \pm \sqrt{16^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 256)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.4

Vereinfache.

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Schritt 7.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.4.1.1

Potenziere $16$ mit $2$ .

$L = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 1 \cdot 256}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 256$ .

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Schritt 7.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$L = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 256}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $256$ .

$L = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 1024}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.4.1.3

Subtrahiere $1024$ von $256$ .

$L = \frac{- 16 \pm \sqrt{- 768}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.4.1.4

Schreibe $- 768$ als $- 1 (768)$ um.

$L = \frac{- 16 \pm \sqrt{- 1 \cdot 768}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (768)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{768}$ um.

$L = \frac{- 16 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{768}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$L = \frac{- 16 \pm i \cdot \sqrt{768}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.4.1.7

Schreibe $768$ als $16^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 7.2.4.1.7.1

Faktorisiere $256$ aus $768$ heraus.

$L = \frac{- 16 \pm i \cdot \sqrt{256 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.4.1.7.2

Schreibe $256$ als $16^{2}$ um.

$L = \frac{- 16 \pm i \cdot \sqrt{16^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$L = \frac{- 16 \pm i \cdot (16 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.4.1.9

Bringe $16$ auf die linke Seite von $i$ .

$L = \frac{- 16 \pm 16 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$L = \frac{- 16 \pm 16 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 7.2.4.3

Vereinfache $\frac{- 16 \pm 16 i \sqrt{3}}{2}$ .

$L = - 8 \pm 8 i \sqrt{3}$

Schritt 7.2.5

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$L = - 8 + 8 i \sqrt{3}, - 8 - 8 i \sqrt{3}$

Schritt 8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $5 L (1 - \frac{L}{16}) (1 + \frac{L}{16} + \frac{L^{2}}{256}) = 0$ wahr machen.

$L = 0, 16, - 8 + 8 i \sqrt{3}, - 8 - 8 i \sqrt{3}$