Analysis Beispiele

$\ln (y^{2} - 1) - \ln (y + 1) = \ln (\sin (x))$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{y^{2} - 1}{y + 1}) = \ln (\sin (x))$

Schritt 1.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\ln (\frac{y^{2} - 1^{2}}{y + 1}) = \ln (\sin (x))$

Schritt 1.2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = y$ und $b = 1$ .

$\ln (\frac{(y + 1) (y - 1)}{y + 1}) = \ln (\sin (x))$

Schritt 1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y + 1$ .

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Schritt 1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (\frac{(y + 1) (y - 1)}{y + 1}) = \ln (\sin (x))$

Schritt 1.3.2

Dividiere $y - 1$ durch $1$ .

$\ln (y - 1) = \ln (\sin (x))$

Schritt 2

Damit die Gleichung erfüllt ist, müssen die Argumente der Logarithmen auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

$y - 1 = \sin (x)$

Schritt 3

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = \sin (x) + 1$