Analysis Beispiele

$- \ln (1 - \sqrt{\frac{y^{2}}{x^{2}} + 1}) = \ln (x) + c$

Schritt 1

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$- \ln (1 - \sqrt{\frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}}}) = \ln (x) + c$

Schritt 1.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \ln (1 - \sqrt{\frac{y^{2} + x^{2}}{x^{2}}}) = \ln (x) + c$

Schritt 1.1.3

Schreibe $\frac{y^{2} + x^{2}}{x^{2}}$ als ${(\frac{1}{x})}^{2} (y^{2} + x^{2})$ um.

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Schritt 1.1.3.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $y^{2} + x^{2}$ heraus.

$- \ln (1 - \sqrt{\frac{1^{2} (y^{2} + x^{2})}{x^{2}}}) = \ln (x) + c$

Schritt 1.1.3.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $x^{2}$ aus $x^{2}$ heraus.

$- \ln (1 - \sqrt{\frac{1^{2} (y^{2} + x^{2})}{x^{2} \cdot 1}}) = \ln (x) + c$

Schritt 1.1.3.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} (y^{2} + x^{2})}{x^{2} \cdot 1}$ um.

$- \ln (1 - \sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} (y^{2} + x^{2})}) = \ln (x) + c$

Schritt 1.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$- \ln (1 - (\frac{1}{x} \sqrt{y^{2} + x^{2}})) = \ln (x) + c$

Schritt 1.1.5

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $\sqrt{y^{2} + x^{2}}$ .

$- \ln (1 - \frac{\sqrt{y^{2} + x^{2}}}{x}) = \ln (x) + c$

Schritt 1.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$- \ln (\frac{x}{x} - \frac{\sqrt{y^{2} + x^{2}}}{x}) = \ln (x) + c$

Schritt 1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \ln (\frac{x - \sqrt{y^{2} + x^{2}}}{x}) = \ln (x) + c$

Schritt 2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{y^{2} + x^{2}}$ als ${(y^{2} + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- \ln (\frac{x - {(y^{2} + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{x}) = \ln (x) + c$

Schritt 3

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$- \ln (\frac{x - {(y^{2} + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{x}) - \ln (x) = c$

Schritt 4

Stelle $y^{2}$ und $x^{2}$ um.

$- \ln (\frac{x - {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{x}) - \ln (x) = c$

Schritt 5

Addiere $\ln (x)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- \ln (\frac{x - {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{x}) = c + \ln (x)$

Schritt 6

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$- \ln (\frac{x - {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{x}) - \ln (x) = c$