Analysis Beispiele

$x = \sqrt{9 - y^{2}}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $\sqrt{9 - y^{2}} = x$ um.

$\sqrt{9 - y^{2}} = x$

Schritt 2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{9 - y^{2}}}^{2} = x^{2}$

Schritt 3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{9 - y^{2}}$ als ${(9 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(9 - y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache ${({(9 - y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(9 - y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(9 - y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(9 - y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(9 - y^{2})}^{1} = x^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache.

$9 - y^{2} = x^{2}$

Schritt 4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y^{2} = x^{2} - 9$

Schritt 4.2

Teile jeden Ausdruck in $- y^{2} = x^{2} - 9$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- y^{2} = x^{2} - 9$ durch $- 1$ .

$\frac{- y^{2}}{- 1} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 9}{- 1}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{y^{2}}{1} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 9}{- 1}$

Schritt 4.2.2.2

Dividiere $y^{2}$ durch $1$ .

$y^{2} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 9}{- 1}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{x^{2}}{- 1}$ .

$y^{2} = - 1 \cdot x^{2} + \frac{- 9}{- 1}$

Schritt 4.2.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot x^{2}$ als $- x^{2}$ um.

$y^{2} = - x^{2} + \frac{- 9}{- 1}$

Schritt 4.2.3.1.3

Dividiere $- 9$ durch $- 1$ .

$y^{2} = - x^{2} + 9$

Schritt 4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{- x^{2} + 9}$

Schritt 4.4

Vereinfache $\pm \sqrt{- x^{2} + 9}$ .

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Schritt 4.4.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.4.1.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$y = \pm \sqrt{- x^{2} + 3^{2}}$

Schritt 4.4.1.2

Stelle $- x^{2}$ und $3^{2}$ um.

$y = \pm \sqrt{3^{2} - x^{2}}$

Schritt 4.4.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 3$ und $b = x$ .

$y = \pm \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$

Schritt 4.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$

Schritt 4.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$

Schritt 4.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$

$y = - \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$

$y = \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$

$y = - \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$

$y = \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$

$y = - \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$